Bài 111334

Question

Cho điểm

$A(4;1)$ và Hyperbol

$(H)$ có phương trình:

$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$
a. Tìm tọa độ điểm

$M$ thuộc Hyperbol

$(H)$ sao cho đoạn

$AM$ ngắn nhất.
b. Chứng tỏ rằng nếu đoạn

$AM$ ngắn nhất, thì

$AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại

$M$ của Hyperbol

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/10/2012 5:02:22 PM

a. Điểm

$M(x_0;y_0)\in (H)$ , với

$y_0\geq 0$ ta có:

$\frac{x_0^2}{2}-\frac{y_0^2}{4}=1\Leftrightarrow 2x_0^2-y_0^2=4 \Leftrightarrow y_0=\sqrt{2x_0^2-4} (1)$
Khoảng cách

$AM$ được xác định bởi:

$AM^2=(x_0-4)^2+(y_0-1)^2=(x_0-4)^2+(\sqrt{2x_0^2-4}-1 )^2$

$=x_0^2-8x_0+16+(2x_0^2-4)-2\sqrt{2x_0^2-4}+1$

$=2(x_0-2)^2+\frac{1}{2}({\sqrt{2x_0^2-4} }-2 )^2+5\geq 5$
Vậy

$AM_{Min}=\sqrt{5}$ , đạt được khi

$\begin{cases}x_0-2=0 \\ \sqrt{2x_0-4}-2=0 \end{cases} \Leftrightarrow x_0=2$ thay vào

$(1)\Rightarrow M(2;2)$
b. Ta có;
- Tiếp tuyến tại

$M$ của Hyperbol

$(P)$ có dạng

$\frac{2x}{2}-\frac{2y}{4}=1 \Leftrightarrow (d):2x-y-2=0$
- Đường thẳng

$AM$ có hệ số góc

$k_{AM}=\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=-\frac{1}{2}$
Nhận xét rằng

$k_d.k_{AM}=-2.\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow (d)\bot AM$
Vậy

$AM$ ngắn nhất, thì

$AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại

$M$ của Hyperbol.

1 Đáp án