Bài 111334

Question

Cho điểm $A(4;1)$ và Hyperbol $(H)$ có phương trình: $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1 $
a. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc Hyperbol $(H)$ sao cho đoạn $AM$ ngắn nhất.
b. Chứng tỏ rằng nếu đoạn $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của Hyperbol

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/10/2012 5:02:22 PM

a. Điểm $M(x_0;y_0)\in (H)$, với $y_0\geq 0$ ta có:
$\frac{x_0^2}{2}-\frac{y_0^2}{4}=1\Leftrightarrow 2x_0^2-y_0^2=4 \Leftrightarrow y_0=\sqrt{2x_0^2-4} (1)$
Khoảng cách $AM$ được xác định bởi:
$AM^2=(x_0-4)^2+(y_0-1)^2=(x_0-4)^2+(\sqrt{2x_0^2-4}-1 )^2$
$=x_0^2-8x_0+16+(2x_0^2-4)-2\sqrt{2x_0^2-4}+1 $
$=2(x_0-2)^2+\frac{1}{2}({\sqrt{2x_0^2-4} }-2 )^2+5\geq 5 $
Vậy $AM_{Min}=\sqrt{5} $, đạt được khi $\begin{cases}x_0-2=0 \\ \sqrt{2x_0-4}-2=0 \end{cases} \Leftrightarrow x_0=2$ thay vào $(1)\Rightarrow M(2;2)$
b. Ta có;
- Tiếp tuyến tại $M$ của Hyperbol $(P)$ có dạng $\frac{2x}{2}-\frac{2y}{4}=1 \Leftrightarrow (d):2x-y-2=0$
- Đường thẳng $AM$ có hệ số góc $k_{AM}=\frac{y_M-y_A}{x_M-x_A}=-\frac{1}{2} $
Nhận xét rằng $k_d.k_{AM}=-2.\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow (d)\bot AM $
Vậy $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của Hyperbol.

Bài 111334

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111334

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan