Bài 111225

Question

Trong không gian cho bốn đường thẳng

$d_1,d_2,d_3,d_4$ đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng bất kì nào đồng quy

$a.$ Có tất cả bao nhiêu giao điểm?

$b.$ Chứng minh rằng cả bốn đường thẳng ấy đều nằm trên một mặt phẳng

$c.$ Chứng tỏ rằng có thể chia tập hợp các giao điểm của các đường thẳng trên thành hai nhóm : Nhóm ba điểm đường thẳng và nhóm

$3$ điểm là ba đỉnh của một tam giác

score 0 · Answer 1

$a.$ Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại cho ta

$3$ giao điểm có

$4$ đường.Vậy lẽ ra phải có

$4.3$ giao điểm.Nhưng mỗi giao điểm được tính làm

$2$ lần.Vậy số giao điểm của bốn đường thẳng là :

$\frac{4.3}{2}=6$ giao điểm

$b.$ Xét mặt phẳng

$(P)$ xác định bởi hai đường thẳng giao nhau

$d_1,d_2$
Dễ thấy

$B\in d_1\Rightarrow B\in (P)$

$E\in d_2\Rightarrow E\in (P)$

$\Rightarrow EB\subset (P)\Rightarrow d_4\subset (P)$

$EB\subset (P)$ mà

$F\in d_4\Rightarrow F\in (P)$

$D\in d_2\Rightarrow D\in (P)$

$\Rightarrow DE\subset (P)\Rightarrow d_3\subset (P)$
Vậy

$d_3,d_4$ cùng thuộc

$(P)$ hay bốn đường thẳng

$d_1,d_2,d_3,d_4$ đồng phẳng

$c.$ Trên mỗi đường thẳng thì có

$3$ giao điểm, do vậy ta có

$4$ nhóm mỗi nhóm gồm

$3$ điểm thẳng hàng

$(A,B,C);(B,F,E);(E,A,D)$ và

$(D,C,F)$ và bốn nhóm mỗi nhóm gồm

$3$ điểm là ba đỉnh của một tam giác

$(A,C,D);(B,C,F);(D,F,E)$ và

$(A,B,E)$

1 Đáp án