Bài 111175

Question

Cho Parabol $(P):y^2=2px$. Giả sử đường thẳng $(d)$ đi qua tiêu điểm $F$ của $(P)$ và tạo với chiều dương của trục $Ox$ một góc $\alpha $ và cắt $(P)$ tại hai điểm $M, N$
a. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $MN$ theo $p$ và $\alpha $
b. Từ đó suy ra quỹ tích $I$ khi $\alpha $ thay đổi.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/9/2012 4:27:47 PM

a. Parabol $(P)$ có tiêu điểm $F(\frac{p}{2};0 )$
Vậy, phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua $F$ tạo với chiều dương của trục $Ox$ một góc $\alpha $ có dạng:
$(d):\begin{cases}qua F(\frac{p}{2};0 )\\ hệ số góc k=\tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow (d):y=(x-\frac{p}{2} )\tan \alpha $
Tọa độ giao điểm $M, N$ của $M, N$ của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\begin{cases}y^2=2px \\ y=(x-\frac{p}{2}\tan\alpha ) \end{cases} \Rightarrow x^2\tan^2\alpha -p(\tan^2\alpha +2)x+\frac{p^2}{4}\tan^2\alpha =0 (1)$
Ta có:
$\Delta =p^2(\tan^2\alpha +2)^2-p^2\tan^4\alpha =4p^2\tan^2\alpha +4p^2>0 \forall \alpha $
$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm phân biệt.
Vậy $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $M(x_M;y_M), N(x_N;y_N)$ có hoành độ thỏa mãn $x_M+x_N=\frac{p(\tan^2\alpha +2)}{\tan^2\alpha } $
b. Gọi $I(x_I;y_I)$ là trung điểm của đoạn $MN$, ta có: $\begin{cases}x_I=\frac{1}{2}(x_M+x_N) \\ y_I=(x_I-\frac{p}{2} )\tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_I=\frac{p(\tan^2\alpha +2)}{2\tan^2\alpha } \\ y_I=\frac{p}{\tan\alpha } \end{cases} (I)$
Khử $\alpha $ từ hệ $(I)$ ta được $y_I^2=2px_I-p$
Vậy, quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn $MN$ thuộc Parabol $(P_1):y^2=2px-p$

Bài 111175

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111175

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan