Bài 111071

Question

Cho $\Delta ABC$, gọi $O, I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác $ABC, IA$ gặp lại đường tròn $(O) $ tại $K.$
a) Chứngminh rằng: $KI=KB=KC$.
b) Gọi $KL$ là đường kính của $(O)$. Chứng minh rằng $IA.KC=2Rr$.
Suy ra rằng $IO^2=R^2-2Rr$ (hệ thức Euler).

score 0 · Answer 1

\Rightarrow

a) Do $AI$ là phân giác trong của $\widehat{BAC} $
Suy ra $K$ là trung điểm của cung $BC      \Rightarrow    KB=KC$
Mặt khác $\widehat{ICK}=\frac{\widehat{A}+\widehat{C} }{2}=\widehat{KIC}   $
$\Rightarrow    \Delta IKC $ cân tại $K    \Rightarrow     KC=KI$
Tóm lại $KI=KB=KC.$

b) Ta có: $KC =KL \sin \frac{\widehat{KLC}}{2} =2R \sin \frac{A}{2} $
mà $\sin \frac{A}{2}=\frac{r}{IA}   \Rightarrow     KC.IA=2Rr$ (đpcm)
Mà $KC=KI     \Rightarrow     IA.IK=2Rr     \Rightarrow    \overline{IA}.\overline{IK}=-2Rr$
$\Rightarrow    IO^2-R^2=-2Rr\Rightarrow IO^2=R^2-2Rr$ (đpcm).

Bài 111071

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111071

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan