Bài 111053

Question

Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^3-3x^2+6x-6=y \\ y^3-3y^2+6y-6=z \\ z^3-3z^2+6z-6=x\end{cases} (I)$

score 0 · Answer 1

Xét hàm số $f(t)=t^3-3t^2+6t-6=(t-1)^3+3t-5$
Tập xác định $R$
Với mọi $t_1 \in R, t_2 \in R: t_1<t_2$ ta có:
    $f(t_2)-f(t_1)=[(t_2-1)^3+3t_3-5]-[(t_1-1)^3+3t_1-5]$
                  =$(t_2-t_1)[(t_2-_1)^2+(t_1-1)^2+(t_2-1)(t_1-1)+3]$
                  =$(t_2-t_1)[(t_2-1+\frac{t_1-1}{2})^2+\frac{3(t_1-1)^2}{4}+3]$
Do $t_1<t_2$ $\Rightarrow$ $f(t_2)-f(t_1)>0$ hay $f(t_1)<f(t_2)$ $\Rightarrow$ $f(t)$ là hàm đồng biến trên R.
Theo mệnh đề $f(f(f(t)))=t \Leftrightarrow$ $f(t)=t$,$\forall$ $t \in R$
Viết lại $(1) \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} f(x)=y\\ f(y)=z\\f(z)=x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x)=y\\ f(y)=z \\f(f(f(x)))=x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x)=y\\ f(y)=z\\f(z)=x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=y=z\\ f(x)=x \end{array} \right.(2)$
+Giải phương trình $f(x)=x \Leftrightarrow f(x)-x=0.$
Gọi $h(x)=f(x)-x$,tức là $h(x)=x^3-3x^2+5x-6=(x-1)^2+2x-5$
Với mọi $t_1 \in R,t_2\in R;t_1<t_2$ ta có
$h(t_2)-h(t_1)=(t_2-t_1)[(t_2-1+\frac{t_1-1}{2})^2+\frac{3(t_1-1)^2}{4}+2]$
Tương tự trên suy ra $h(x)$ đồng biến trên $R$.
Lại có $h(2)=0$ suy ra $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình $h(x)=0$ trên $R$ hay $f(x)=x$ có duy nhất $1$ nghiệm trên $R$ là $x=2$
Do vậy $(2) \Leftrightarrow x=y=z=2.$
Tóm lại hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là $x=y=z=2$

Bài 111053

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111053

1 Đáp án

Liên quan

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan