Bài 110984

Question

Cho $\Delta ABC$, có các đường cao $AA_1, BB_1, CC_1$ và $A, B, C$ nhọn.
a) Chứng minh rằng: $A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1=a \cos A+b \cos B+c\cos C$.
b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ bằng hai lần bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta A_1B_1C_1$.

score 0 · Answer 1

a) Ta có:
       $\triangle CA_1B_1 \sim \triangle CAB$
$ \Rightarrow \frac{CA_1.CB_1}{CA.CB}=\frac{S_{\triangle CA_1B_1}}{S_{\triangle CAB}}=\left (\frac{A_1B_1}{AB}\right )^2$
$\Rightarrow \Rightarrow \frac{CA_1}{CA}.\frac{CB_1}{CB}=\left (\frac{A_1B_1}{AB}\right )^2$
$\cos C . \cos C = \left (\frac{A_1B_1}{AB}\right )^2$
$\Rightarrow \cos C=\frac{A_1B_1}{AB} $
$     \Rightarrow    A_1B_1=AB \cos C=c.\cos C$
Tương tự $B_1C_1=a.\cos A; C_1A_1=b.\cos B$
Do đó: $A_1B_1+B_1C_1+C_1A_1=a.\cos A+b.\cos B+c.\cos C$.

b) Gọi $R_1, R$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta A_1B_1C_1$ và $\Delta ABC$, ta có:
$2R_1=\frac{A_1B_1}{\sin \widehat{A_1C_1B_1} }=\frac{c.\cos C}{\sin (\widehat{B_1C_1C}+\widehat{A_1C_1C} )}=\frac{c.\cos C}{\sin (\widehat{A_1AC}+\widehat{B_1BC} )}=\frac{c.\cos C}{\sin 2C}   $
$\Rightarrow    2R_1=\frac{c}{2 \sin C}=R $ (đpcm).

Bài 110984

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110984

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan