Bài 110778

Question

Cho Hyperbol $(H): \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $
a. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ $M\in (H)$ đến các tiệm cận của nó là một hằng số.
b. Từ điểm $M\in (H)$ kẻ các đường thẳng song song với hai tiệm cận và cắt chúng tại $P, Q$. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành $OPMQ$ là một hằng số

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/5/2012 2:43:34 PM

Điểm $M_0(x_0;y_0)\in (H)$ nên: $\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2 $
Phương trình hai đường tiệm cận của $(H)$ là: $y=\pm \frac{b}{a}x \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
bx + ay = 0\\
bx - ay = 0
\end{array} \right.$
a. Khoảng cách $h_1$ từ điểm $M$ tới tiệm cận $bx+ay=0$ là $h_1=\frac{|bx_0+ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} } $
Khoảng cách $h_2$ từ điểm $M$ tới tiệm cận $bx-ay=0$ là $h_2=\frac{|bx_0-ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} } $
Do đó: $h_1.h_2=\frac{|bx_0+ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} }.\frac{|bx_0-ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} }=\frac{|b^2x_0^2-a^2y_0^2|}{b^2+a^2}=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $
Vậy, tích các khoảng cách từ điểm $M$ bất kỳ của Hyperbol $(H)$ đến các tiệm cận của nó là một hằng số.
b. Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường tiệm cận $y=\frac{b}{a}x $ với trục $Ox$. Ta có:
$\tan \alpha =\frac{b}{a} $ và $\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+\tan^2\alpha } =\frac{2ab}{a^2+b^2} $
$S_{OPMQ}=OP.OQ.\sin 2\alpha =\frac{2ab}{a^2+b^2}.OP.OQ\Rightarrow OP.OQ=\frac{a^2+b^2}{2ab}.S_{OPMQ} $
Mặt khác: $S_{OPMQ}=OQ.h_1=OP.h_2$
$\Rightarrow S^2_{OPMQ}=OP.OQ.h_1.h_2=\frac{a^2+b^2}{2ab}.S_{OPMQ}.\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\Leftrightarrow S_{OPMQ}=\frac{ab}{2} $ không đổi

Bài 110778

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110778

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan