Bài 110778

Question

Cho Hyperbol

$(H): \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
a. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ

$M\in (H)$ đến các tiệm cận của nó là một hằng số.
b. Từ điểm

$M\in (H)$ kẻ các đường thẳng song song với hai tiệm cận và cắt chúng tại

$P, Q$ . Chứng minh rằng diện tích hình bình hành

$OPMQ$ là một hằng số

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/5/2012 2:43:34 PM

Điểm

$M_0(x_0;y_0)\in (H)$ nên:

$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1 \Leftrightarrow b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2$
Phương trình hai đường tiệm cận của

$(H)$ là:

$y=\pm \frac{b}{a}x \Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} bx + ay = 0\\ bx - ay = 0 \end{array} \right.$
a. Khoảng cách

$h_1$ từ điểm

$M$ tới tiệm cận

$bx+ay=0$ là

$h_1=\frac{|bx_0+ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} }$
Khoảng cách

$h_2$ từ điểm

$M$ tới tiệm cận

$bx-ay=0$ là

$h_2=\frac{|bx_0-ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} }$
Do đó:

$h_1.h_2=\frac{|bx_0+ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} }.\frac{|bx_0-ay_0|}{\sqrt{b^2+a^2} }=\frac{|b^2x_0^2-a^2y_0^2|}{b^2+a^2}=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$
Vậy, tích các khoảng cách từ điểm

$M$ bất kỳ của Hyperbol

$(H)$ đến các tiệm cận của nó là một hằng số.
b. Gọi

$\alpha$ là góc tạo bởi đường tiệm cận

$y=\frac{b}{a}x$ với trục

$Ox$ . Ta có:

$\tan \alpha =\frac{b}{a}$ và

$\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+\tan^2\alpha } =\frac{2ab}{a^2+b^2}$

$S_{OPMQ}=OP.OQ.\sin 2\alpha =\frac{2ab}{a^2+b^2}.OP.OQ\Rightarrow OP.OQ=\frac{a^2+b^2}{2ab}.S_{OPMQ}$
Mặt khác:

$S_{OPMQ}=OQ.h_1=OP.h_2$

$\Rightarrow S^2_{OPMQ}=OP.OQ.h_1.h_2=\frac{a^2+b^2}{2ab}.S_{OPMQ}.\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}\Leftrightarrow S_{OPMQ}=\frac{ab}{2}$ không đổi

Bài 110778

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110778

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan