Bài 110584

Question

Xét điểm $M(t)$ có tọa độ cho bởi: $\begin{cases}x=\frac{1}{\cos t} \\ y=\sqrt{3}\tan t \end{cases}, t\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ) (1)$
a. Chứng minh rằng khi $t$ thay đổi, điểm $M(t)$ vạch trên một nhánh của Hyperbol $(H)$. Xác định tọa độ tiêu điểm của Hyperbol đó.
b. Chứng minh điều kiện cần và đủ để đường thẳng nối $2$ điểm phân biệt $M(t_1), M(t_2)$ đi qua một tiêu điểm của $(H)$ là: $\tan \frac{t_1}{2}.\tan \frac{t_2}{2}=-\frac{1}{3} $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/4/2012 11:54:01 AM

a. Ta có: $(1):\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{\cos t}=x \\ \tan t=\frac{y}{\sqrt{3} } \end{cases} $ $(\frac{1}{\cos^2t}-\tan^2t=1 )\Rightarrow \begin{cases}x>0 \\ \frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1   \end{cases}    (*)$
Vậy $M(t)$ thuộc nhánh bên phải của Hyperbol $(H)$ có phương trình cho bởi $(*)$ và có hai tiêu điểm $F_1(-2;0)$ và $F_2(2;0)$
b. Bằng cách đặt $u=\tan \frac{t_1}{2} $ và $v=\tan \frac{t_2}{2} (u\neq v   vì t_1 \neq   t_2)$, khi đó:
- Tọa độ hai điểm $M(t_1)$ và $M(t_2)$ được viết dưới dạng:
$M(t_1):\begin{cases}x_1=\frac{1}{\cos t_1}=\frac{1+u^2}{1-u^2}   \\ y_1=\sqrt{3}\tan t_1=\frac{2u\sqrt{3} }{1-u^2}   \end{cases} ;   M(t_2):\begin{cases}x_2=\frac{1}{\cos t_2}=\frac{1+v^2}{1-v^2}   \\ y_2=\sqrt{3}\tan t_2=\frac{2v\sqrt{3} }{1-v^2}   \end{cases} $
- Với điều kiện $M(t_1), M(t_2)$ và tiêu điểm $F_2$ thẳng hàng, ta được:
$\frac{{{x_{{F_2}}} - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{{y_{{F_2}}} - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}} \Leftrightarrow \frac{{2 - \frac{{1 + {u^2}}}{{1 - {u^2}}}}}{{\frac{{1 + {v^2}}}{{1 - {v^2}}} - \frac{{1 + {u^2}}}{{1 - {u^2}}}}} = \frac{{ - \frac{{2u\sqrt 3 }}{{1 - {u^2}}}}}{{\frac{{2v\sqrt 3 }}{{1 - {v^2}}} - \frac{{2u\sqrt 3 }}{{1 - {u^2}}}}}$

$\Leftrightarrow uv = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \tan \frac{{{t_1}}}{2}.\tan \frac{{{t_2}}}{2} = - \frac{1}{3}        (đpcm)$

Bài 110584

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110584

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan