Bài 110547

Question

Cho $m \sin (a+b)=\cos (a-b)$ trong đó $a - b \neq$ $k \pi$ ( $k \in Z$ ) và $m \neq \pm 1. $
Chứng minh rằng : $M= \frac{ 1}{ 1 - m\sin 2a } + \frac{ 1}{ 1 - m \sin 2b } $ không phụ thuộc vào $a$ và $b$.

cobedangyeu_pro97 · Answer 1 · 7/4/2012 9:21:28 AM

Ta có :
* $1 - m\sin2a = 1 - m \sin [( a+b )+( a - b )] $
   $= 1 - m [ \sin ( a + b) \cos ( a - b) + \cos ( a + b).\sin ( a - b)]$
   $= 1 - m\sin ( a + b) \cos ( a - b) -m\cos ( a + b) \sin ( a - b)$
   $= [1-\cos ^2( a - b)] - m \cos ( a + b) \sin ( a - b) \sin ( a - b)$ ( do giả thiết)
   $= \sin ^2( a - b) - m\cos( a + b)   \sin ( a - b) \\= \sin ( a - b) [\sin ( a - b) - m \cos ( a + b)]$
* $1 - m\sin2b = 1 -m \sin [(a+b) - ( a - b)]$
   $ = 1 - m[\sin( a + b) \cos ( a - b) - \cos (a+b) \sin (a-b)]$
   $= 1 - m\sin (a + b) \cos (a - b) + m \cos (a + b) \sin (a - b)$
   $= 1 - \cos ^2(a - b) + m\cos (a + b) \sin (a - b)$
   $= \sin (a-b)[\sin (a - b) + m\cos (a + b)$
Vậy $M= \frac{1 }{\sin (a-b)[\sin (a-b) - m\cos (a+b)] } + \frac{ 1}{ \sin(a-b)[\sin (a-b) + m\cos (a+b)] } $
Do $a- b \neq k \pi$ nên $\sin (a-b) \neq 0$
Vậy $M= \frac{ \sin (a - b) + m \cos (a + b) + \sin (a-b) - m \cos (a+b)}{ \sin (a-b) [\sin ^2(a - b) - m^2 \cos ^2 (a + b)]} $
        $M= \frac{ 2\sin(a-b)}{\sin(a-b) [\sin ^2 ( a - b) +m^2\sin^2(a+b) - m^2] } $
        $M= \frac{ 2}{1 - m^2 } $ không phụ thuộc vào a và b.

Bài 110547

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110547

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan