Bài 110327

Question

Cho tứ diện $ABCD$.Gọi $E,I,F,H,K,J$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA,AC,BD$
$a.$ Chứng minh rằng ba đoạn thẳng $FE,HI,KJ$ đồng quy tại điểm $G$ là trung điểm của mỗi đoạn
$b.$ Gọi $G_1,G_2,G_3,G_4$ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác $BCD,ACD,ABD,ABC$
Chứng minh rằng các đường thẳng $AG_1,BG_2,CG_3,DG_4$ cũng đồng quy tại điểm $G$ trên đây
$c.$ Chứng minh hệ thức :
             $\overrightarrow {GG_1}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GA} $
             $\overrightarrow {GG_2}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GB} $
             $\overrightarrow {GG_3}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GC} $
             $\overrightarrow {GG_4}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GD} $

score 0 · Answer 1

$a.$ Trong tam giác $ABC,EI$ là đường trung bình nên :
$EI//AC$ và $EI=\frac{1}{2} AC (1)$
Trong tam giác $ACD,HF$ là đường trung bình nên :
$HF//AC$ và $HF=\frac{1}{2} AC (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra :
$EI//HF$ và $EI=HF$
Suy ra tứ giác $EIFH$ là hình bình hành, hai đường chéo $EF,IH$ cắt nhau tại trung điểm $G$ của mỗi đường.
Chứng minh tương tự, ta có tức giác $EJFK$ cũng là hình bình hành, hai đường chéo $EF,KJ$ cắt nhau tại giao điểm là trung điểm mỗi đường, suy ra $KJ$ đi qua $G$

$b.$ Gọi $P$ là trung điểm của $BG_1$ suy ra $G_1$ là trung điểm của $PF$
Trong $\Delta EPF,GG_1$ là đường trung bình nên :
$GG_1//EP (3)$
Trong $\Delta BAG_1$ thì $EP$ là đường trung bình nên
$AG_1//EP (4)$
Từ $(3),(4)$ và theo tiên đề Euclide áp dụng trong mặt phẳng $(BAF)$ thì ba điểm $A,G,G_1$ thẳng hàng hay $AG_1$ đi qua $G.$Chứng minh tương tự ta có $BG_2,CG_3,DG_4$ cùng đi qua $G$
$c.$ Từ kết quả trên ta có :
$GG_1=\frac{1}{2} EP$ và $EF=\frac{1}{2} AG_1\Rightarrow GG_1=\frac{1}{4} AG_1$
Từ đây suy ra : $\overrightarrow {GG_1}=-\frac{1}{3} \overrightarrow {GA} $
các kết quả khác cũng chứng minh tương tự

Bài 110327

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110327

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan