Bài 110068

Question

Cho

$\Delta ABC$ có đỉnh

$A$ nằm trong mặt phẳng

$(\alpha)$ hai đỉnh

$B,C$ có hình chiếu xuống

$(\alpha)$ lần lượt là

$B_1,C_1$ sao cho

$\Delta AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh

$a$ . Giả sử

$CC_1=a$ và

$BB_1=\frac{a}{2}$ .Gọi

$I$ là giao điểm của

$BC,B_1C_1$

$a.$ Chứng minh rằng

$IA\bot AC$

$b.$ Tính diện tích

$\Delta ABC$ rồi suy ra giá trị của góc

$\varphi$ giữa hai mặt phẳng

$(\alpha)$ và

$(ABC)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Từ giả thiết

$CC_1=2BB_1$ suy ra

$B,B_1$ theo thứ tự lag trung điểm của

$IC,IC_1$
Trong

$\Delta AIC_1$ ta có :

$B_1A=B_1C_1=B_1I\Rightarrow \Delta AIC_1$ vuông tại

$A$
Vậy ta có :

$\begin{cases} IA\bot AC_1\\IA\bot CC_1\end{cases} \Rightarrow IA\bot (ACC_1)\Rightarrow IA\bot AC$

$b.$ Ta có :

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2} S_{\Delta AIC}=\frac{1}{4} AC.AI (1)$
trong đó :

$AC^2=C_1C^2+C_1A^2=a^2+a^2=2a^2\Rightarrow AC=a\sqrt{2} (2)$

$AI^2=C_1I^2-C_1A^2=4a^2-a^2=3a^2\Rightarrow AI=a\sqrt{3} (3)$
Thay

$(2),(3)$ vào

$(1)$ ta được :

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{4} .a\sqrt{2} .a\sqrt{3=\frac{a^2\sqrt{6} }{4} }$
Ta có :

$S_{\Delta AB_1C_1}=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}$ vì

$\Delta AB_1C_1$ là tam giác đều cạnh

$a$

$S_{AB_1C_1}=S_{\Delta ABC}.cos\varphi\Rightarrow cos\varphi =\frac{S_{\Delta AB_1C_1}}{S_{\Delta ABC}} =\frac{\frac{a^2\sqrt{3} }{4} }{\frac{a^2\sqrt{6} }{4} } =\frac{\sqrt{2} }{2} \Rightarrow \varphi =45^0$

Bài 110068

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110068

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan