Bài 109980

Question

Tìm hai điểm $A,B$ nằm trên đồ thị $(C)$ và đối xứng nhau qua $(d)$,biết:
$(C):y=\frac{x^{2}}{x+1}$ và $(d):y=x+1$

score 0 · Answer 1

$A,B$ đối xứng nhau qua $(d) \Leftrightarrow AB \bot (d)$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $(d)$
Vì $AB \bot (d):y=x+1 \Rightarrow (AB):y=-x+m$
Hoành độ giao điểm $A,B$ là nghiệm của phương trình:
$\frac{x^{2}}{x+1}=-x+m \Leftrightarrow g(x)=2x^{2}-(m-1)x-m=0$ (1)
Để $A,B$ tồn tại thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta_{(g)}>0 \\ g(-1) \neq 0\end{cases} \Leftrightarrow (m-1)^{2}+8m>0$
$\Leftrightarrow m^{2}+6m+1 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m>-3+\sqrt{8}\\ m<-3-\sqrt{8} \end{array} \right. $
Khi đó giả sử $x_{A},x_{B}$ là các nghiệm của (1) thì:
$\begin{cases} x_{A}+x_{B}=\frac{m-1}{2} \\x_{A}.x_{B}=-\frac{m}{2}\end{cases} \Rightarrow $Trung điểm của $AB$ là $I: \begin{cases} x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ y_{I}=-x_{I}+m\end{cases} $
$\Leftrightarrow I: \begin{cases} x_{I}=\frac{m-1}{4} \\ y_{I}=\frac{3m-1}{4}\end{cases} $
Điểm $I \in (d) \Leftrightarrow \frac{3m-1}{4}=\frac{m-1}{4}+1 \Leftrightarrow m=-1$
Với $m=-1$ ta được:
$(1) \Leftrightarrow 2x^{2}-1=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\x_{B}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A(\frac{1}{\sqrt{2}};1-\frac{1}{\sqrt{2}})\\B(-\frac{1}{\sqrt{2}};1+\frac{1}{\sqrt{2}})\end{cases} $

Bài 109980

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109980

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Lý thuyết liên quan