Bài 109917

Question

Giải phương trình: $\sqrt{16-8x-3x^2}=x^2+3x-4 (1)$

score 1 · Answer 1

Ta có: $(1) \Leftrightarrow \begin{cases}16-8x-3x^2=(x^2+3x-4)^2             (2) \\ x^2+3x-4 \geq 0                (3) \end{cases}$
Viết lại $(2) \Leftrightarrow (x^2+3x-4)^2+3x^2+8x-16=0$
            $\Leftrightarrow (x^2+3x-4)^2+3(x^2+3x-4)-4=x                    (2')$
Đặt $x^2+3x-4=y$. Điều kiện $y \geq 0$
Phương trình đã cho trở thành $y^2+3y-4=x$. Ta có hệ: $(*)\begin{cases}y^2+3y-4=x \\ x^2+3x-4=y \end{cases}$
Trừ vế theo vế các phương trình có: $(x-y)(x+y+4)=0$
Bởi vậy ta có (*) $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y^2+3y-4=x}\\
{(x-y)(x+y+4)=0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(A) \begin{cases}y^2+3y-4=x          (5)\\ x=y             (6) \end{cases}}\\
{(B) \begin{cases}y^2+3y-4=x               (7) \\ x=-y-4            (8) \end{cases}}
\end{array}} \right.$
Xem hệ $(A)$: Thế $(6)$ vào $(5)$ có $y^2+2y-4=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=-1-\sqrt{5}}     (L)\\
{y=-1+\sqrt{5}}
\end{array}} \right.$
Cùng với $(6)$ suy ra phương trình $(1)$ có nghiệm $x=\sqrt{5}-1$
Xem hệ $(B)$: Thế $(8)$ vào $(7)$ có $y^2+4y=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y=-4    (L)}\\
{y=0}
\end{array}} \right.$
Thế $y=0$ vào $(8)$ có $x=-4$. Đó là một nghiệm của phương trình $(1)$
Vậy phương trình có tập hợp nghiệm là $\left\{ {x=-4;x=\sqrt{5}-1} \right\}$

Bài 109917

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109917

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan