Bài 109799

Question

Chứng minh điều kiện cần để phương trình $ax^4+bx^2+c=0 (a \neq 0) (1)$
có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng là $9b^2=100ac$

score 0 · Answer 1

Đặt $x^2=t \geq 0$, phương trình trở thành $t^2-2mt+2m-1=0    (2)$
Để ý, với mỗi $t>0$ phương trình $x^2=t$ cho hai nghiệm đối nhau $x=\pm \sqrt{t}$
Bởi vậy:
* 1.Phương trình $(1)$ có đúng một nghiệm dương
$\Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có hai nghiệm $t_{1,2}$ thỏa mãn $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_1<0<t_2}\\
{0=t_1<t_2}
\end{array}} \right.$
Trường hợp 1: $t_1<0<t_2 \Leftrightarrow ac<0 \Leftrightarrow 2m-1<0 \Leftrightarrow m<\frac{1}{2}    (3-1)$
Trường hợp 2: $0=t_1<t_2 \Leftrightarrow \begin{cases}c=0 \\ S>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2m-1=0 \\ 2m>0 \end{cases} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}    (3-2)$
Từ $(3-1),(3-2)$ kết luận:
* 2.Phương trình $(1)$ có đúng ba nghiệm $\Leftrightarrow $ Phương trình $(2)$ có hai nghiệm $t_{1,2}$ thảo mãn $0=t_1<t_2 \Leftrightarrow \begin{cases}2m-1=0 \\ 2m>0 \end{cases} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Đặt $x^2=t \geq 0$ phương trình $(1)$ trở thành $at^2+bt+c=0    (3)$
Để ý: với mỗi $t>0$ phương trình $x^2=t$ cho hai nghiệm đối nhau $x=\pm \sqrt{t}$
* Bởi vậy phương trình $(1)$ có bốn nghiệm $\Leftrightarrow $ Phương trình $(3)$có hai nghiệm $ty_1,t_2$ thỏa $t_2>t_1>0$
Khi đó các nghiệm của $(1)$ sẽ là $x_1=-\sqrt{t_2}; x_2=-\sqrt{t_1}; x_3=\sqrt{t_1}; x_4=\sqrt{t_2}$
* Bốn nghiệm của $(1)$ lập thành cấp số cộng $\Leftrightarrow x_4-x_3=x_3-x_2=x_2-x_1$
$\Leftrightarrow \sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}=2\sqrt{t_1} \Leftrightarrow \sqrt{t_2}=3\sqrt{t_1} \Leftrightarrow t_2=9t_1   (4)$
* Từ $(4) \Rightarrow \begin{cases}t_1+t_2=10t_1 \\ t_1t_2=9t_1^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-\frac{b}{a}=10t_1 \\ \frac{c}{a}=9t_1^2 \end{cases} \Rightarrow 9b^2=100ac$   (đpcm)

Bài 109799

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109799

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan