Bài 109751

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a,SA=a\sqrt{3} $ và vuông góc mặt phẳng $(ABCD)$
$a.$ Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh $SC$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$
$b.$ Hãy dựng đường thẳng qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(SBC)$.Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$
$c.$ Tính khoảng cách từ $O$ đến $(SBC)$
$d.$ Tính khoảng cách từ trọng tâm của $\Delta SAB$ đến $(SAC)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $SC$
Trong $\Delta SAC$ ta có :
$OM$ là đường trung bình
$\Rightarrow OM//SA\Rightarrow OM\bot (ABCD)$
$b.$ Nhận xét rằng :
$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA \end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow (SAB)\bot (SBC)$
Hạ $AH$ vuông góc với $SB$ ta có ngay $AH\bot (SBC)$
Vâhy $AH$ là đường thẳng cần dựng
Trong $\Delta SAB$ vuông tại $A$ ta có:
$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{(a\sqrt{3} )^2} +\frac{1}{a^2} =\frac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3} }{2} $
$c.$ Vì $AO\cap (SBC)$ nên ta được :
$\frac{d(O,(SBC))}{d(A,(SBC))} =\frac{OC}{AC} =\frac{1}{2} \Rightarrow d(O,(SBC))=\frac{1}{2} d(A,(SBC))=\frac{1}{2} AH=\frac{a\sqrt{3} }{4} $

$d.$ Gọi $E$ là trung điểm cạnh $AB$ hạ $EF\bot AC$ ta được
$\begin{cases}EF\bot AC\\EF\bot SA \end{cases} \Rightarrow EF\bot (SAC)$
do đó $EF$ chính là khoảng cách từ $E$ tới $(SAC)$
Trong $\Delta OAB$ ta có :
$EF$ là đường trung bình $\Rightarrow EF=\frac{1}{2} OB=\frac{a\sqrt{2} }{4} $
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ vì $EG\cap (SAC)=S$ nên
$\frac{d(G,(SAC))}{d(E,(SAC))} =\frac{GS}{ES} =\frac{2}{3} \Rightarrow d(G,(SAC))=\frac{2}{3} d(E,(SAC))=\frac{2}{3} EF=\frac{a\sqrt{2} }{6} $

Bài 109751

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109751

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan