Bài 109722

Question

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1B_1C_1$ đáy là tam giác đều cạnh $a,AA_1=a\sqrt{2} $.gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,A_1C_1$
$a.$ Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng $(\alpha) $ qua $MN$ và vuông góc với $(BCC_1B_1)$.Thiết diện là hình gì ?
$b.$ Tính diện tích thiết diện

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $E,E_1$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,B_1C_1$ ta có ngay :
$AE\bot BC\Rightarrow AE\bot (BCC_1B_1)$
$A_1E_1\bot B_1C_1\Rightarrow A_1E_1\bot (BCC_1B_1)$
$AE\mathop = \limits^{//} A_1E_1$
Do đó :
- Dựng $Mx//AE$ cắt $BC$ tại $Q$ là trung điểm của $BE$
- Dựng $Ny//A_1E_1$ cắt $B_1C_1$ tại $P$ là trung điểm của $E_1C_1$
Vì $MQ//NP$ nên $M,N,P,Q$ đồng phẳng, do vậy $MNPQ$ chính là thiết diện cần dựng
Nhận xét rằng :
$MQ\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AE\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} A_1E_1\mathop = \limits^{//} NP\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành
$MQ\bot (BCC_1B_1)\Rightarrow MQ\bot PQ$
Vậy thiết diện $MNPQ$ là hình chữ nhật
$b.$ Ta có:
$S_{MNPQ}=MQ.NP$
Trong $\Delta ABC$ ta có $AE=\frac{a\sqrt{3} }{2} $ vì $\Delta ABC$ đều và có cạnh bằng $a$
Trong $\Delta ABE$ ta có $MQ=\frac{1}{2} AE=\frac{a\sqrt{3} }{4} $ vì $MQ$ là đường trung bình
Trong $\Delta ECC_1$ ta có $PQ=EC_1=\sqrt{EC^2+C_1C^2}=\frac{a\sqrt{5} }{2} $
Từ đó ta được :
$S_{MNPQ}=\frac{a\sqrt{3} }{4} .\frac{a\sqrt{5} }{2} =\frac{a^2\sqrt{15} }{8} $

Bài 109722

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109722

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan