Bài 109710

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và cạnh $a,SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$
$a.$ Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $O$, trung điểm $M$ của $SD$ và vuông góc với $(ABCD)$.Hãy xác định mặt phẳng $(\alpha)$,mặt phẳng $(\alpha)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là hình gì?Tính diện tích thiết diện.
$b.$ Gọi $(\beta) $ là mặt phẳng qua $A$, trung điểm $E$ của $CD$ và vuông góc với $(SBC)$.Hãy xác định mặt phẳng $(\beta) $, mặt phẳng $(\beta) $ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là hình gì ?Tính diện tích thiết diện

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta lần lượt thực hiện :
- Xác định mặt phẳng $\alpha $.Trong $(SAD)$ dựng $Mx//SA$ và cắt $AD$ tại $Q$ là trung điểm của $AD$ ta có :
$MQ\bot (ABCD)\Rightarrow MQ\in \alpha $
Vậy $\alpha $ là mặt phẳng $(OMQ)$
- Xác định thiết diện : Kéo dài $QO$ cắt $BC$ tại $P$ là trung điểm của $BC$ ta có :
$\begin{cases} PQ\in \alpha và CD\in (SCD)\\PQ//CD\\\alpha \cap (SCD)=My\end{cases} \Rightarrow My//CD//PQ$
và $My$ cắt $SC$ tại $N$ là trung điểm của $SC$
Vậy mặt phẳng $\alpha $ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là hình thang vuông $MNPQ$
- Tính diên tích thiết diện : Ta có :
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (MN+PQ).MQ$ trong đó :
$MN=\frac{1}{2} CD=\frac{a}{2} $ vì $MN$ là đường trung bình của $\Delta SCD,PQ=a$
$MQ=\frac{1}{2} SA=\frac{a}{2} $ vì $MQ$ là đường trung bình của $\Delta SAD$
suy ra :
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (a+\frac{a}{2} ).\frac{a}{2} =\frac{3a^2}{8} $

$b.$ Ta lần lượt thực hiện :
- Xác định mặt phẳng $\beta :$ Trong $(SAB)$ hạ $AH\bot SB$ và $H$ là trung điểm của $AB$ ta có:
$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA \end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AH$
Như vậy :
$\begin{cases}AH\bot SB\\AH\bot BC \end{cases} \Rightarrow AH\bot (SBC)\Rightarrow AH\in \beta $
Vậy $\beta $là mặt phẳng $(AHE)$
- Xác định diện tích : Kéo dài $AE$ cắt $BC$ tại $K$,nối $HK$ cắt $SC$ tại $F$
Vậy mặt phẳng $\beta $ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là tứ giác $AEFH$

- Tính diện tích thiết diện : Ta có:
$S_{AEFH}=S_{\Delta HAK}-S_{\Delta EKF}$
$=\frac{1}{2} AH.KH-\frac{1}{2} KE.KF.sin\widehat{EKF}=\frac{1}{2} AK.KH-\frac{1}{2} KE.KF.\frac{AH}{AK} $
Trong $\Delta SAB$ ta có:
$AH=\frac{1}{2} SB=\frac{a\sqrt{2} }{2} $
Trong $\Delta ADE$ ta có:
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\frac{a\sqrt{5} }{2} $
Trong $\Delta KAB$ ta có:
$CE\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AB\Rightarrow KE=AE=\frac{a\sqrt{5} }{2} $ và $AK=2AE=a=a\sqrt{5} $
Trong $\Delta HAK$ vuông tại $H$ ta có:
$KH=\sqrt{AK^2-AH^2}=\frac{3a\sqrt{2} }{2} $
Trong $\Delta SBK$ ta có: $SC,SH$ là hai đường trung tuyến, do đó :
$KF=\frac{2}{3} KH=a\sqrt{2} $
Từ đó, ta được :
$S_{AEFH}=\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{2} }{2}.\frac{3a\sqrt{2} }{2} -\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{5} }{2} .a\sqrt{2} .\frac{\frac{a\sqrt{2} }{2} }{\frac{2}{a\sqrt{5} } } =\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4} =\frac{a^2}{2} $

Bài 109710

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109710

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan