Bài 109707

Question

Cho $\Delta ACD,\Delta BCD$ nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, $AC=AD=BC=BD=a$ và $CD=2x$.Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,CD$
$a.$ chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với $AB,CD$
$b.$ Tính $AB,IJ$ theo $a,x$
$c.$ Xác định $x$ sao cho $(ABC)\bot (ABD)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BCD$ ta có :
$CD chung \\AC=AD=BC=BD$
suy ra :
$AJ=BJ\Leftrightarrow JAB$ cân tại $J\Rightarrow IJ\bot AB$
XÉt $\Delta CAB$ và $\Delta ICD$ ta có :
$AB chung$
$AC=AD=BC=BD$
suy ra :
$DI=CI\Leftrightarrow \Delta ICD$ cân tại $I\Rightarrow IJ\bot CD$
$b.$ Trong $\Delta AJC$ vuông tại $I$ ta có :
$AJ^2=AC^2-CJ^2=a^2-x^2\Rightarrow AJ=\sqrt{a^2-x^2} $
Nhận xét rằng :
$\begin{cases} (ACD)\bot (BCD)\\(ACD)\cap (BCD)=CD\\AJ\bot CD\end{cases} \Rightarrow AJ\bot (BCD)\Rightarrow AJ\bot BJ$
Trong $\Delta AJB$ vuông cân tại $J$ ta có :
$AB=AJ\sqrt{2} =\sqrt{2(a^2-x^2)} $ và $IJ=\frac{AB}{2} =\frac{\sqrt{2(a^2-x^2)} }{2} $
$c.$ Nhận xét rằng :
$\begin{cases}(ABC)\cap (ABD)=AB\\DI\bot AB \end{cases} $
do đó để $(ABC)\bot (ABD)$ điều kiện là :
$DI\bot (ABC)\Rightarrow DI\bot CI\Leftrightarrow \Delta ICD$ vuông tại đỉnh $I$
$\Leftrightarrow IJ=\frac{1}{2} CD\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2(a^2-x^2)} }{2} =\frac{1}{2} .2x\Leftrightarrow a=x\sqrt{3} $
Vậy với $a=x\sqrt{3} $ thì hai mặt phẳng $(ABC),(ABD)$ vuông góc với nhau

Bài 109707

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109707

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan