Bài 109607

Question

Trong mặt phẳng

$\alpha$ cho góc vuông

$xOy,d$ là đường thẳng cố định trong

$\alpha,d$ cắt

$Ox,Oy$ lần lượt tại

$A,B$ .Gọi

$Oz$ là tia vuông góc với

$\alpha,S$ là một điểm trên

$Oz$ .Gọi

$AE,BF$ là đường cao của

$\Delta SAB$

$a.$ Cho góc

$xOy$ cố định,

$S$ di động trên tia

$Oz$ .Tìm tập hợp các điểm

$E,F$

$b.$ Cho

$d$ cố định, góc

$xOy$ xoay quanh

$O$ .Chứng minh rằng trực tâm của

$\Delta SAB$ cố định.Tìm tập hợp các điểm

$E,F$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta lần lượt tìm tập hợp các điểm

$E,F$
- Tìm tập hợp các điểm

$E:$ Nhận thấy đường thẳng

$SB$ nằm trong mặt phẳng

$yOz$ cố định và đi qua điểm

$B$ cố định.
Ta có :

$\begin{cases}AO\bot BO\\AO\bot SO \end{cases} \Rightarrow AO\bot (xOz)$

$\Rightarrow OE\bot SB$ theo định lí ba đường vuông góc

$\Rightarrow \widehat{OEB}=90^0$

$\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính

$OB$ chứa trong

$(yOz)$
Khi

$S$ di động trên tia

$Oz$ thì

$E$ thuộc nửa đường tròn đường kính

$OB$ trong nửa mặt phẳng

$(yOz)$ bờ

$Oy$
- Tìm tập hợp điểm

$F:$ Thực hiện tương tự ta được

$F$ thuộc nửa đường tròn đường kính

$OA$ trong nửa mặt phẳng

$(xOz)$ bờ

$Ox$

$b.$ Giả sử

$AE\cap BF=H$ suy ra

$H$ là trực tâm của

$\Delta SAB$ và ta đi chứng minh

$H$ cố định.Kéo dài

$SH$ cắt

$AB$ tại

$K$ ta có

$\begin{cases} AB\bot SK\\AB\bot SO\end{cases} \Leftrightarrow AB\bot (SOK)\Rightarrow AB\bot OK\Rightarrow K$ cố định

$\Rightarrow H$ cố định
Trong mặt phẳng

$(S,d)$ cố định và có

$SH$ cố định và :
Vì

$\widehat{SEH}=90^0$ nên

$E$ thuộc nửa đường tròn đường kính

$SH$ trong nửa mặt phẳng

$(SBK)$ bờ

$SK$
Vì

$\widehat{SFH}=90^0$ nên

$F$ thuộc nửa đường tròn đường kính

$SH$ trong nửa mặt phẳng

$(SAK)$ bờ

$SK$

Bài 109607

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109607

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan