Bài 109600

Question

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$.Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $A$ lấy điểm $S$ sao cho $SA=a\sqrt{2} $.Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC,\alpha$ cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $M,N,P$
$a.$ Chứng minh rằng $AM\bot SB,AP\bot SD$ và $SM.SB=SN.SC=SP.SD=SA^2$
$b.$ Chứng minh rằng tứ giác $AMNP$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau
$c.$ Gọi $O$ là giao điểm của $AC,BD;K$ là giao điểm của $AN,MP$.Chứng minh rằng ba điểm $S,K,O$ thẳng hàng
$d.$ Tính diện tích tứ giác $AMNP$

score 0 · Answer 1

Dựng thiết diện :
- Trong $(SAC)$ dựng $AN\bot SC$
- Trong $(SBC)$ dựng $Nx\bot SC$ và cắt $SB$ tại $M$
- Trong $(SCD)$ dựng $Ny\bot SC$ và cắt $SD$ tại $P$
Thấy ngay $A,M,N,P$ đồng phẳng vì cùng thuộc mặt phẳng qua $N$ (hoặc $a$) và vuông góc với $SC$
$a.$ Ta có :
$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA \end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AM     (1)$
Mặt khác theo cách dựng ta có :
$SC\bot (AMNP)\Rightarrow SC\bot AM    (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra
$AM\bot (SBC)\Rightarrow AM\bot SB$
Chứng minh tương tự ta được $AP\bot SD$
Các $\Delta SAB,\Delta SAC,\Delta SAD$ cùng vuông tại $A$ và lần lượt có các đường cao $AM,AN,AP$ suy ra :
$SA^2=Sm.SB=SN.SC=SP.SD       (3)$
$b.$ TA có :
$\begin{cases} AM\bot (SBC)\\AP\bot (SCD)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}AM\bot MN\\AP\bot PN \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\widehat{AMN}=90^0\\\widehat{APN}=90^0   \end{cases} $
$\Rightarrow AMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính $AN$
Nhận xét rằng :
$\begin{cases}BD\bot AC\\BD\bot SA \end{cases} \Rightarrow BD\bot (SAC)\Rightarrow BD\bot AN$
Dễ thấy $SB=SB$ do đó từ $(3)$ :
$SM.SB=SP.SD\Leftrightarrow SM.SD=SP.SB\Leftrightarrow \frac{SM}{SB} =\frac{SP}{SD} $
$\Rightarrow MP//BD\Rightarrow MP\bot AN$
VẬy tứ giác $AMNP$ nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau.
$c,$ Ta có :
$\begin{cases}S.K,O \in (SAC)\\\S,K,O\in )(SBD) \end{cases} \Rightarrow $ ba điểm $S,K,O$ thẳng hàng
$d.$ Ta có :
$S_{AMNP}=\frac{1}{2} AN.MP        (4)$
trong đó :
Trong $\Delta SAC$ vuông tại $A$, ta được :
$\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}   =\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2a^2} \Rightarrow AN=a   (5)$
Trong $\Delta SBD$ ta được :
$\frac{MP}{BD} =\frac{SM}{SB}=\frac{SM.SB}{SB^2}=\frac{SA^2}{SA^2+AB^2}=\frac{2}{3} \Rightarrow MP=\frac{2a\sqrt{2} }{3}       (6)$
Thay $(5),(6)$ vào $(4) $ ta được :
$S_{AHIK}=\frac{1}{2} a.\frac{2a\sqrt{2} }{3} =\frac{a^2\sqrt{2} }{4} $

Bài 109600

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109600

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan