Bài 109598

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,SA=a\sqrt{2} $ và vuông góc với $(ABCD)$.Gọi $AH$ là đường cao của $\Delta SAB$
$a.$ Tính tỉ số $\frac{SH}{SB} $ và độ dài $AH$
$b.$ Gọi $\alpha$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB,(\alpha)$ cắt hình chóp $S.ABCD$ theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích của thiết diện.

score 0 · Answer 1

$a.$ Trong $\Delta SAB$ vuông tại $S$ ta có :
$\frac{SH}{SB}=\frac{SH.SB}{SB^2}=\frac{SA^2}{AB^2+SA^2} =\frac{(a\sqrt{2} )^2}{a^2+(a\sqrt{2} )^2} =\frac{2}{3} $
$\frac{1}{AH^2} =\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2} =\frac{1}{(a\sqrt{2} )^2} +\frac{1}{a^2} =\frac{3}{2a^2} $
$\Leftrightarrow AH=\frac{a\sqrt{6} }{3} $
$b.$ Dựng thiết diện :
- Trong $(SBC)$ dựng $Hx\bot SB$ và cắt $SC$ tại $I$
- Nối $D$ với $I$ ta được thiết diện là tứ giác $AHID$
Nhận xét rằng :
$\begin{cases} BC\bot AB\\BC\bot SA\end{cases} \Rightarrow BC\bot B$
Trong mặt phẳng $(SBC)$ ta có :
$\begin{cases} BC\bot SB\\HI\bot SB\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}HI//BC//AD\\HI\bot AH \end{cases} \Rightarrow AHID$ là hình thang vuông tại $A,H$
Trong $\Delta SBC$ ta có :
$\frac{HI}{BC}=\frac{SH}{SB}=\frac{2}{3} \Rightarrow HI=\frac{2a}{3} $
Từ đó :
$S_{AHID}=\frac{1}{2} (AD+HI).AH=\frac{1}{2} (a+\frac{2a}{3} ).\frac{a\sqrt{6} }{3} =\frac{5a^2\sqrt{6} }{18} $

Bài 109598

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109598

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan