Bài 109592

Question

Cho tứ diện $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a.SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$ là một điểm tùy ý trên cạnh $AC,(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AC$
$a.$ Tùy theo vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AC$, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ với tứ diện $S.ABC$
$b.$ Đặt $CM=x$ với $0<x<a$.Tính diện tích $S$ của thiết diện trên theo $a,x$ và xác định $x$ để diện tích này có giá trị lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AC$ ta có ngay $BE\bot AC$.Do đó cần xét hai trương hợp khác nhau về vị trí của điểm $M$ trên cạnh $AC$ và trong đó ta sử dụng:
$SA\bot (ABC)\Rightarrow SA\bot AC$

Trường hợp $1:$ Với $M$ thuộc đoạn $CE$ ta thực hiện :
- Trong $(ABC)$ dựng $Mx//BE$ và cắt $BC$ tại $N$ (ta được $MN\bot AC$)
- Trong $(SAC)$ dựng $My//SA$ và cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MP\bot AC$)
Như vậy trong trường hợp này ta được thiết diện là $\Delta MNP$ vuông tại $M$

Truòng hợp $2:$ Với $M$ thuộc đoạn $AE$ (trừ điểm $E$)
- Trong $(ABC)$ dựng $Mx//BE$ và cắt $AC$ tại $N$ (ta được $MN\bot AC$)
- Trong $(SAC)$ dựng $My//SA$ và cắt $SC$ tại $P$ (ta được $MP\bot AC$)
- Trong $(SAB)$ dựng $Nz//SA$ và cắt $SB$ tại $Q$ (ta được $NQ\bot AC$)
Như vậy. trong trường hợp này ta được thiết diện là hình thang vuông $MNQF$ (vuông tại $M,N$)
$b.$ Ta xét hai trường hợp của điểm $M$
Trường hợp $1:$ Với $M\in CE$, ta có :$0<x\leq \frac{a}{2} $ và diên tích $\Delta MNP$ là :
$S_{\Delta MNP}=\frac{1}{2} MN.MP     (1)$
Trong $\Delta BCE$ ta có :
$\frac{MN}{BE}=\frac{CM}{CE}=\frac{x}{\frac{a}{2} }\Rightarrow MN=x\sqrt{3}          (2)$
Trong $\Delta SAC$ ta có :
$\frac{MP}{SA}=\frac{CM}{CA}=\frac{x}{a}\Rightarrow MP=x   $- cách tính thứ nhất $(3)$
Thay $(2),(3)$ vào $(1)$ ta được :
$S_{\Delta MNP}=\frac{1}{2} .x\sqrt{3}=\frac{x^2\sqrt{3} }{2} $ ta có ngay
$(S_{\Delta MNP})_{Max}=\frac{(\frac{a}{2} )^2.\sqrt{3} }{2} $
đặt được khi $x=\frac{a}{2} $
Trường hợp $2:$ Với $M$ thuộc đoạn $AE$ ta có $\frac{a}{2}<x<a $ và diện tích $MNPQ$ là :
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (MP+NQ).MN        (4)$
Trong $\Delta ABE$ ta có :
$\frac{MN}{BE}=\frac{AM}{AE}=\frac{a-x}{\frac{a}{2} } \Rightarrow MN=\sqrt{3}(a-x)       (5)$
Vì $\Delta SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\Delta PMC$ vuông cân tại $N$ do đó:
$MP=CE=x$- cách tính thứ hai           $(6)$
Trong $\Delta SAB$ ta có :
$\frac{NQ}{SA}=\frac{BN}{BA}=\frac{ME}{EA}=\frac{x-\frac{a}{2} }{\frac{a}{2} }    \Rightarrow NQ=2x-a       (7)$
Thay $(5),(6),(7)$ vào $(4)$ ta được :
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (x+2x-a).\sqrt{3}(a-x)=\frac{\sqrt{3} }{2} (3x-a)(a-x)$ ta biến đồi tiếp :
$S_{MNPQ}=-\frac{3\sqrt{3} }{2} (x^2-\frac{4ax}{3}+\frac{a^2}{3} )=\frac{3\sqrt{3} }{2} [\frac{a^2}{9} -(x-\frac{2a}{3} )^2]\leq \frac{a^2\sqrt{3} }{6} $
suy ra: $(S_{MNPQ})_{Max}=\frac{a^2\sqrt{3} }{6} $ đạt được khi $x=\frac{2a}{3} $
Tóm lại ta được :
$S_td=\begin{cases}\frac{x^2\sqrt{3} }{2} với 0<x\leq \frac{a}{2} \\\frac{\sqrt{3} }{2}(3x-a)(a-x) với \frac{a}{2}<x<a   \end{cases} $
và $(S_{td})_{Max}$ đạt được khi $x=\frac{2a}{3} $

Bài 109592

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109592

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan