Bài 109584

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng

$a$ .Mặt bên

$SAB$ là tam giác đều;

$SCD$ là tam giác vuông cân đỉnh

$S$ .Gọi

$I,J$ lần lượt là trung điểm của

$AB,CD$

$a.$ Tính các cạnh của

$\Delta SIJ$ và chứng minh rằng

$SI\bot (SCD),SJ\bot (SAB)$

$b.$ Gọi

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$S$ trên

$IJ$ .Chứng minh rằng

$SH\bot AC$ và tính độ dài

$SH$

$c.$ Gọi

$M$ là một điểm thuộc đường thẳng

$CD$ sao cho

$BM\bot SA$ .Tính

$AM$ theo

$a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Xét

$\Delta SIJ$ ta lần lượt có :

$IJ=a$ đường trung bình của hình vuông.

$SI=\frac{a\sqrt{3} }{2}$ đường cao trong tam giác đều

$SJ=\frac{1}{2} CD=\frac{a}{2}$ trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông.
Nhận xét rằng :

$SI^2+SJ^2=(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^2+(\frac{a}{2} )^2=a^2=IJ^2\Rightarrow \Delta SIJ$
vuông tại

$S\Leftrightarrow SI\bot SJ$
Khi đó :

$\begin{cases}CD\bot SJ\\CD\bot IJ \end{cases} \Leftrightarrow CD\bot (SIJ)\Rightarrow CD\bot SI\Rightarrow SI\bot (SCD)$
Chứng minh tương tự ta được

$SJ\bot (SAB)$

$b.$ Ta có :

$SH\bot CD$ theo kết quả trong

$a.$ có

$CD\bot (SIJ)$

$SH\bot ,$ theo giả thiết
suy ra

$SH\bot (ABCD)\Rightarrow SH\bot AC$
Trong

$\Delta SIJ$ ta có :

$S_{\Delta SIJ}=\frac{1}{2} SH.IJ\Rightarrow SH=\frac{SI.SJ}{IJ} =\frac{\frac{a\sqrt{3} }{2}.\frac{a}{2} }{a} =\frac{a\sqrt{3} }{4}$

$c.$ Điều kiện để :

$BM\bot SA\Leftrightarrow BM\bot AH$ theo định lí ba đường vuông góc
Ta có ngay

$\Delta AIH$ và

$\Delta BCM$ là hai tam giác vuông đồng dạng, suy ra :

$\frac{IH}{CM}=\frac{AI}{BC}=\frac{1}{2} \Rightarrow CM=2IH (1)$
Trong

$\Delta SIH$ có:

$IH=\sqrt{SI^2-SH^2}=\sqrt{(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^2-(\frac{a\sqrt{3} }{4} )^2}=\frac{3a}{4} (2)$
Thay

$(2)$ vào

$(1)$ ta được :

$CM=2.\frac{3a}{4} =\frac{3a}{2}$
Khi đó : trong

$\Delta ADM$ ta có :

$AM^2=AD^2+MD^2=AD^2+(CM-CD)^2=a^2+\frac{3a}{2}-a )^2=\frac{5a^2}{4}$

$\Leftrightarrow AM=\frac{a\sqrt{5} }{2}$ (tức là

$M\equiv J$ )

Bài 109584

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109584

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan