Bài 109557

Question

Cho hình chóp $SABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành với $AB=a,AD=2a,SAB$ là tam giác vuông cân tại $A,M$ là điểm trên cạnh $AD(M$ khác $A,D)$.Mặt phẳng $\alpha$ qua $M$ song song với mặt phẳng $(SAB)$ cắt $BC,SC,SD$ lần lượt tại $N,P,Q$
$a.$ Chứng minh rằng $MNPQ$ là hình thang vuông
$b.$ ĐẶt $AM=x$.Tính diện tích của $MNPQ$ theo $a$ và $x$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có:
$\begin{cases}\alpha //(SAB)\\\alpha \cap (SAD)=MD\\(SAB)\cap (SAD)=SA \end{cases} \Rightarrow MQ//SA           (1)$
$\begin{cases}\alpha//(SAB)\\\alpha \cap (ABCD)=MN\\(SAB)\cap (ABCD)=AB \end{cases} \Rightarrow MN//AB                  (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $\widehat{NMQ}=90^0 $
Mặt khác, ba mặt phẳng $(ABCD),(SCD)$ và $\alpha$ cắt nhau theo ba giao tuyến $MN,CD,PQ$ có :
$MN//CD\Rightarrow MN//PQ\Rightarrow MNPQ$ là hình thang vuông
$b.$ Ta có :
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (MN+PQ).MQ            (3)$
Ta có ngay $MN=AB=a          (4)$
Trong $\Delta SAD$ ta có :
$\frac{MQ}{SA}=\frac{DM}{DA}=\frac{AD-AM}{DA}=\frac{2a-x}{2a}\Rightarrow MQ=\frac{2a-x}{2}     (5) $
Trong $\Delta SCD$ ta có :
$\frac{PQ}{CD}=\frac{SQ}{SD}=\frac{AM}{AD}=\frac{x}{2a}\Rightarrow PQ=\frac{x}{2}          (6)$
Thay $(4),(5),(6)$ vào $(3)$ ta được :
$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (a+\frac{x}{2} )\frac{2a-x}{2} =\frac{1}{8} (4a^2-x^2)$

Bài 109557

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109557

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan