Bài 109447

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ các cạnh bằng nhau và bằng

$6a$ . Gọi

$I,J$ lần lượt là trung điểm của

$AC,BC$ . Gọi

$K$ là một điểm trên cạnh

$BD$ với

$BK=2KD$

$a.$ Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng

$(IJK)$ . Chứng minh thiết diện là hình thang cân.

$b.$ Tính diện tích thiết diện theo

$a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có :

$\begin{cases}AB\in (ABD) và IJ\in(IJK)\\AB//IJ\\(ABD)\cap (IJK)=Kx \end{cases} \Rightarrow Kx//AB//IJ$
Giả sử

$Kx$ cắt

$AD$ theo thứ tự tại

$H$ .Khi đó ta được

$4$ đoạn giao tuyến là

$IJ,IH,HK,KJ$ .Do đó thiết diện là hình thang

$IJKH$
Mặt khác ta thấy ngay :

$\Delta ACD=\Delta BCD\Rightarrow IH=JK$
Vậy thiết diện

$IJKH$ là hình thang cân

$b.$ TRong

$\Delta ABC$ ta có :

$IJ=\frac{1}{2} AB=3a$
Trong

$\Delta ABD$ ta có :

$\frac{HK}{AB}=\frac{KD}{BD}=\frac{1}{3} \Rightarrow HK=\frac{1}{3} AB=2a$
Trong

$\Delta BJK$ ta có :

$BJ=\frac{1}{2}BC=3a,BK=4a$

$JK^2=BJ^2+BK^2-2BJ.BK.cos\widehat{KBJ} =(3a)^2+(4a)^2-2.3a.4a.cos60^0 \\=13a^2$

$\Rightarrow JK=a\sqrt{13}$
Xét hình thang

$IJKH$ hạ đường cao

$KP$ ta có :

$KP=\sqrt{JK^2-PJ^2}=\sqrt{JK^2-(\frac{IJ-HK}{2} )^2} =\frac{a\sqrt{51} }{2}$

$S_{IJKH}=\frac{1}{2} (IJ+HK).KP=\frac{1}{2} (3a+2a).\frac{a\sqrt{51} }{2} =\frac{5a^2\sqrt{51} }{4}$

1 Đáp án