Bài 109447

Question

Cho tứ diện $ABCD$ các cạnh bằng nhau và bằng $6a$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$. Gọi $K$ là một điểm trên cạnh $BD$ với $BK=2KD$
$a.$ Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(IJK)$. Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
$b.$ Tính diện tích thiết diện theo $a$

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có :
$\begin{cases}AB\in (ABD) và IJ\in(IJK)\\AB//IJ\\(ABD)\cap (IJK)=Kx \end{cases} \Rightarrow Kx//AB//IJ$
Giả sử $Kx$ cắt $AD$ theo thứ tự tại $H$.Khi đó ta được $4$ đoạn giao tuyến là $IJ,IH,HK,KJ$.Do đó thiết diện là hình thang $IJKH$
Mặt khác ta thấy ngay :
$\Delta ACD=\Delta BCD\Rightarrow IH=JK$
Vậy thiết diện $IJKH$ là hình thang cân

$b.$ TRong $\Delta ABC$ ta có :
$IJ=\frac{1}{2} AB=3a$
Trong $\Delta ABD$ ta có :
$\frac{HK}{AB}=\frac{KD}{BD}=\frac{1}{3} \Rightarrow HK=\frac{1}{3} AB=2a$
Trong $\Delta BJK$ ta có :
$BJ=\frac{1}{2}BC=3a,BK=4a$
$JK^2=BJ^2+BK^2-2BJ.BK.cos\widehat{KBJ} =(3a)^2+(4a)^2-2.3a.4a.cos60^0
\\=13a^2$
$\Rightarrow JK=a\sqrt{13} $
Xét hình thang $IJKH$ hạ đường cao $KP$ ta có :
$KP=\sqrt{JK^2-PJ^2}=\sqrt{JK^2-(\frac{IJ-HK}{2} )^2} =\frac{a\sqrt{51} }{2} $
$S_{IJKH}=\frac{1}{2} (IJ+HK).KP=\frac{1}{2} (3a+2a).\frac{a\sqrt{51} }{2} =\frac{5a^2\sqrt{51} }{4} $

Bài 109447

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109447

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan