Bài 109397

Question

Trong mặt phẳng

$\alpha$ , cho hai nửa đường thẳng song song

$Ax,By.M$ và

$I$ là hai điểm lần lượt thuộc

$Ax,By;M\neq A,N\neq B.O$ là điểm cố định không thuộc

$\alpha$

$a.$ Chứng minh rằng

$OA,MN$ chéo nhau

$b.$

$M,N$ di động, chứng tỏ rằng đường thẳng

$OI$ nối

$O$ với trung điểm

$I$ của

$MN$ nằm trong mặt phẳng cố định

$c.$

$M,N$ di động nhưng

$AM+BN$ có giá trị không đổi.Chứng minh rằng mặt phẳng

$(OMN)$ luôn chứa một đường thẳng cố định

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta đi chứng minh bằng phản chứng.Thât vậy giả sử

$OA,MN$ không chéo nhau tức chúng nằm trong một mặt phẳng.Mặt phẳng này chứa ba điểm

$A,M,N$ không thẳng hàng, đó chính là mặt phẳng

$\alpha$ suy ra

$O\in (\alpha)$ trái với giả thiết
Vậy

$OA,MN$ chéo nhau.

$b.$ Gọi

$C$ là trung điểm

$AB$ , khi đó

$C$ cố định. Ta thấy rằng

$ABNM$ là hình thang

$\Rightarrow I\in Cz$ là đường trung bình của

$ABNM$ - cố định
Vậy

$OI$ nằm trong mặt phẳng cố định

$(O;Cz)$ .

$c.$ Xét hình thang

$ABNM$ ta có :

$CI=\frac{1}{2} (AM+BN)$ - không đổi

$\Rightarrow I cố định$
Vậy mặt phẳng

$(OMN)$ chứa đường thẳng

$OI$ cố định.

1 Đáp án