Bài 108868

Question

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+x=y^4+y^3+y^2+y$

Thu Hằng · Answer 1 · 6/20/2012 10:19:26 AM

Phương trình được viết lại:
       $4x^2+4x+1=4y^4+4y^3+y^2+3y^2+4y+1$
$ \Leftrightarrow 4x^2+4x+1=(2y^2+y)^2+3y^2+4y+1            (1)$
$ \Leftrightarrow 4x^2+4x+1=(2y^2+y)^2+2(2y^2+y)+1+2y-y^2$
$\Leftrightarrow (2x+1)^2=(2y^2+y+1)^2+2y-y^2           (2)$
Nếu $y \neq 1$ và $\left[ {\begin{matrix} y>2\\y<-1 \end{matrix}} \right.$ thì $\begin{cases}2y-y^2<0\\3y^2+4y+1>0 \end{cases}$, nên từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
            $(2y^2+y)^2<(2x+1)^2<(2y^2+y+1)^2$
điều này vô lí vì $(2y^2+y)^2$ và $(2y^2+y+1)^2$ là hai số chính phương liên tiếp. Do đó, $y$ nhận một trong các giá trị $-1,0,1,2$:
* $y=-1 \Rightarrow x=0$ hoặc $x=-1$
* $y=0 \Rightarrow x=0$ hoặc $x=-1$
* $y=1 \Rightarrow$ không tồn tại $x$
* $y=2 \Rightarrow x=5$ hoặc $x=-6$
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là:
$(x,y) \in \left\{ {(0,-1),(-1,-1),(0,0),(-1,0),(5,2),(-6,2)} \right\}$

Bài 108868

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108868

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan