|
|
Gọi $d$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P)$.Giả sử ba đường thẳng chứa $3$ cạnh hình lập phương $AB,AC,AD$ lần lượt tạo với $d$ ba góc $\alpha,\beta,\gamma $.Khi đó, theo định lí Pythagore ta có :
$cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$
Gọi $A_1;B_1,C_1,D_1$ lần lượt là hình chiếu của $A,B,C,D$ lên $(P)$ ta có $A_1B_1=ABsin\alpha,B_1,C_1=BCsin\beta,C_1,A_1=CAsin\gamma$
suy ra
$A_1B_1^2+B_1C_1^2+C_1A_1^2=a^2sin^2\alpha+a^2sin^2\beta+a^2sin^2\gamma$
$=a^2.(3-cos^2\alpha-cos^2\beta-cos^2\gamma)=2a^2$
Tiến hành hoàn toàn tương tự cho các bộ bốn đỉnh còn lại của tứ diện, ta suy ra đpcm
|