Bài 108767

Question

Cho tam giác $ABC$ vuông cân, $AB=AC=a,M$ là trung điểm cạnh $BC$. Trên các nửa đường thẳng $AA',MM'$ vuông góc $mp(ABC)$, về cùng một phía, lấy tương ứng các điểm $N,I$ sao cho $2MI=NA=a$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$ tới $NB$
$a.$ Chứng minh $AH\bot NI$
$b.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB,HI$

score 0 · Answer 1

$a.$ Lấy $D$ đối xứng với $A$ qua $M$, vì $\Delta ABC$ vuông cân nên tứ giác $ABDC$ là hình

vuông.Ta có :
$\begin{cases}BD\bot BN \\ BD\bot AN \end{cases} \Rightarrow BD\bot (ABN)\Rightarrow

BD\bot AH$
$\begin{cases}AH\bot BN \\ AH\bot BD \end{cases}\Rightarrow AH\bot (NBD)\Rightarrow AH\bot
ND $
$\Rightarrow AH\bot (NBD)$
Suy ra $AH\bot NI$ (đpcm)
$b.$ Ta có :
$\begin{cases}AH\bot (NBD) \\ HI\subset (NBD) \end{cases} \Rightarrow AH\bot HI\Rightarrow NB\bot HI$
Trong mặt phẳng $(NBD)$ ta có $NB\bot BD, NB\bot HI$ suy ra $HI//BD$ do đó $H$ là trung điểm $BN$.
Từ $H$ kẻ $HK\bot (ABCD)$ suy ra $HK//AN$ vì thế $K$ là trung điểm $AB$.Vậy
$HK=\frac{1}{2} AN=\frac{a}{2} $
Từ đó : $HK\bot HI,HK\bot AB$ do đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $AB,HI$.Vậy khoảng
cách giữa $AB$ và $HI$ là $HK=\frac{a}{2} $

Bài 108767

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108767

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan