Bài 108689

Question

Cho hình hộp có độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh là

$a,b,c$ . Chứng minh rằng hình hộp này là hình hộp chữ nhật khi và chỉ khi chúng có ba độ dài ba đường chéo bằng nhau và bằng

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

score 0 · Answer 1

Phần thuận.
Cách

$1.$ Giả sử hình hộp đã cho là hình hộp chữ nhật, khi đó, dễ thấy

$BDD''B'$ và

$ACA'C'$ là các hình chữ nhật.Từ đó, ta có :

$AC'^2=AC^2+CC'^2=AB^2+BC^2+CC'^2=a^2+b^2+c^2$ .Vậy

$AC'=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Tương tự như thế cho các đường chéo còn lại, ta suy ra điều phải chứng minh
Cách

$2.$ (Sử dụng véctơ)
Giả sử hình hộp đã cho là hình hộp chữ nhật.Từ

$\overrightarrow {AC'}=\overrightarrow {AB} +\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AA'}$ và

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=0$
Ta suy ra

$\overrightarrow {AC'^2}=a^2+b^2+c^2$ hay

$AC'=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Tương tự các đường chéo còn lại cũng bằng

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Phần đảo :
Giả sử hình hộp đã cho có các đường chéo bằng nhau và bằng

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .Khi đó, xét hình bình hành

$ACA'C'$ , ta có hai đường chéo của nó bằng nhau, nên nó là hình chữ nhật.Do đó,

$CC'$ vuông góc mặt đáy, suy ra hình hộp đã cho là hình hộp đứng.Như thế,

$ACC'A',BDDB'$ là hai hình chữ nhật, chúng có một cạnh bằng nhau

$(DD'=AA')$ , ngoài ra, theo giả thiết, ta lại có

$BD'=AC'$ nên hai hình chữ nhật này bằng nhau.Suy ra

$BD=AC$ do đó đáy

$ABCD$ cũng là hình chữ nhật.Tóm lại hình hộp đã cho là hình hộp chữ nhật.

1 Đáp án