Bài 108660

Question

Cho tứ diện vuông

$O.ABC$ vuông tại

$O$ có

$OA=a;OB=b;OC=c$

$a)$ Chứng minh hình chiếu

$H$ của

$O$ lên

$(ABC)$ là trực tâm của tam giác

$ABC$ . Tính

$OH$ theo

$a,b,c$

$b)$ Chứng minh tổng bình phương diện tích các tam giác

$OAB,OBC,OCA$ bằng bình phương diện tích tam giác

$ABC$

score 0 · Answer 1

Hướng dẫn :

$a)$ Kẻ

$OH\bot mp(ABC)$ , chứng minh

$AB\bot CH$ và

$AC\bot CH$ .Sau đó chứng minh công thức

$\frac{1}{OH^2} =\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}+\frac{1}{OC^2}$

Cách

$2:$
Gọi

$3$ đường cao của

$\Delta ABC$ lần lượt là

$AD,BE,CF$
Ta có:

$AD\bot BC, OA\bot BC\Rightarrow BC\bot (OAD)\Rightarrow (OAD)\bot (ABC)=AD\Rightarrow$ Hình chiếu

$H$ của

$O$ lên

$(ABC)$ nằm trên

$AD$ .
Tương tự ta có;

$H\in BE, H\in CF \Rightarrow H$ là trực tâm của

$\Delta ABC$

$b)$ Tính diện tích các tam giác

$OAB,OBC,OCA,ABC$ theo

$a,b,c$ và nghiệm thấy điều phải chứng minh

1 Đáp án