Bài 108654

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ . Chứng minh rằng có duy nhất một điểm cách đều bốn đỉnh

$A,B,C,D$ . Suy ra rằng sáu mặt phẳng trung trực của sáu cạnh của tứ diện

$ABCD$ có điểm chung duy nhất.

score 0 · Answer 1

Giả sử

$M$ là điểm sao cho

$MA=MB=MC=MD$ .Gọi

$(P),(Q),(R),(S),(T),(U)$ lần lượt là các mặt phẳng trung trực của

$AB,BC,AD,BC,CD,DB$ .Như vậy

$M$ nằm trên cả

$6$ mặt phẳng đó.Dễ thấy

$6$ mặt phẳng đó có ba giao tuyến cắt nhau từng đôi một nên ba giao tuyến đó phải đồng quy.Như vậy điểm

$M$ tồn tại
Ngoài ra, điểm

$M$ có tính chất trên là duy nhất.Thật vậy, giả sử có hai điểm chung phân biệt của sáu mặt phẳng đó là

$M$ và

$M'$ thì đường thẳng

$MM'$ sẽ vuông góc với cả bốn mặt của hình tứ diện, điều này vô lí

1 Đáp án