Bài 108501

Question

Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương $n$ chẵn ta luôn có
$\frac{1}{1!(n-1)!}+\frac{1}{3!(n-3)!}+\frac{1}{5!(n-5)!}+...+\frac{1}{(n-1)!1!}=\frac{2^{n-1}}{n!}$

score 0 · Answer 1

Đặt $S=\frac{1}{1!(n-1)!}+\frac{1}{3!(n-3)!}+\frac{1}{5!(n-5)!}+...+\frac{1}{(n-1)!1!}$
Khi đó $n!S=\frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{3!(n-3)!}+\frac{n!}{5!(n-5)!}+...+\frac{n!}{(n-1)!1!}$
$n!S=C^1_n+C^3_n+C^5_n+...+C^{n-1}_n$
Mặt khác, xét khai triển nhị thức:
$(x+1)^{n}= C^0_nx^{n}+...+C^k_nx^{n-k}+...+ C^n_nx^{0} $
Cho $x=1$, ta có: $C^0_n+C^1_n+...+C^n_n=2^n$ (1)
Cho $x=-1$, ta có: $C^0_n-C^1_n+...-C^{n-1}_n+C^n_n=0$ ($n$ chẵn) (2)
Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta được: $2(C^1_n+C^3_n+...+C^{n-1}_n)=2^n$
$\Rightarrow C^1_n+C^3_n+...+C^{n-1}_n=2^{n-1}$
Vậy $S=\frac{2^{n-1}}{n!}$ hay ta có đpcm

Bài 108501

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108501

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan