Bài 108475

Question

giải phương trình :
$\sqrt{x^2+4y^2+6x+9}+\sqrt{x^2+4y^2-2x-12y+10}=5 $

score 0 · Answer 1

Đưa phương trình về dạng tương đương sau :
$\sqrt{(x+3)^2+(2y)^2}+\sqrt{(1-x)^2+(3-2y)^2}=5        (1) $
Xét các véctơ : $\overrightarrow {u}=(x+3;2y),\overrightarrow {v}=(1-x;3-2y) $
Khi đó ta có : $\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v}=(4;3) $.như vậy $(1)\Leftrightarrow |\overrightarrow {u} |+|\overrightarrow {v} |=|\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v} |    (2)$
Theo bất đẳng thức véctơ thì $|\overrightarrow {u}+\overrightarrow {v} |\leq |\overrightarrow {u} |+|\overrightarrow {v} |$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow {u}=\lambda \overrightarrow {v}   $ với $\lambda >0$ hoặc một trong hai véctơ $\overrightarrow {u},\overrightarrow {v} $ là véctơ không. Vậy $(2)$ tương đương với khả năng sau :
$(I) \frac{x+3}{1-x}=\frac{2y}{3-2y} \geq 0 $
hoặc $(II) 1-x=3-2y=0$ hoặc $x-3=2y=0$
Dễ thấy $(II)\Leftrightarrow x=1,y=\frac{3}{2}$ hoặc $x=-3; y=0$
$(I)\Leftrightarrow \begin{cases}-3\leq x<1 \\ -1+\frac{4}{1-x} = -1+\frac{3}{3-2y} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-3\leq x<1 \\ 3x-8y+9=0 \end{cases} $
Kết hợp lại, ta thấy các nghiệm $(x;y)$ của phương trình đã cho có dạng sau :
$x=\alpha;y=\frac{1}{8} (3\alpha +9)$ với $-3\leq \alpha \leq 1$
Nếu biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, thì các nghiệm đó là đoạn thẳng $AB$ của đường thẳng $3x-8y+9=0$ với $A(-3;0)$ và $B(1;\frac{3}{2} )$

Bài 108475

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108475

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan