Bài 108460

Question

Cho $a.\sin\alpha.\sin \beta -b.\cos\alpha .\cos \beta =0 $. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc $\alpha , \beta: $ $A=\frac{1}{a.\sin^2\alpha +b.\cos^2\alpha } +\frac{1}{a.\sin^2 \beta +b.cos^2 \beta } $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/18/2012 10:28:37 AM

Biến đổi $A$ về dạng:
$\begin{array}{l}
A = \frac{{\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}}}{{\frac{{a.{{\sin }^2}\alpha + b.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}}} + \frac{{\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta }}}}{{\frac{{a.{{\sin }^2}\beta + b.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta }}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\beta }}}}\\
   = \frac{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}{{a.{{\tan }^2}\alpha + b}} + \frac{{1 + {{\tan }^2}\beta }}{{a.{{\tan }^2}\beta + b}}\,\,\,\,(1)
\end{array}$
Từ điều kiện của giả thiết:
$\begin{array}{l}
      a.\sin \alpha .\sin \beta - b.c{\rm{os}}\alpha .\cos \beta = 0 \Leftrightarrow a.\sin \alpha .\sin \beta = b.c{\rm{os}}\alpha .c{\rm{os }}\beta \\
\Leftrightarrow a.\tan \alpha .\tan \beta = b \Leftrightarrow \tan \beta = \frac{b}{{a.\tan \alpha }}\,\,\,(2)
\end{array}$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta được:
$\begin{array}{l}
A = \frac{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}{{a.{{\tan }^2}\alpha + b}} + \frac{{1 + {{\left( {\frac{b}{{a.\tan \alpha }}} \right)}^2}}}{{a.{{\left( {\frac{b}{{a.\tan \alpha }}} \right)}^2} + b}} = \frac{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}{{a.{{\tan }^2}\alpha + b}} + \frac{{{a^2}.{{\tan }^2}\alpha + {b^2}}}{{a{b^2} + {a^2}b.{{\tan }^2}\alpha }}\\
   = \frac{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}{{a.{{\tan }^2}\alpha + b}} + \frac{{{a^2}.{{\tan }^2}\alpha + {b^2}}}{{ab(a.{{\tan }^2}\alpha + b)}} = \frac{{ab(1 + {{\tan }^2}\alpha ) + {a^2}.{{\tan }^2}\alpha + {b^2}}}{{ab(a.{{\tan }^2}\alpha + b)}}\\
   = \frac{{(a + b)(a.{{\tan }^2}\alpha + b)}}{{ab(a.{{\tan }^2}\alpha + b)}} = \frac{{a + b}}{{ab}}
\end{array}$

Bài 108460

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108460

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan