Bài 108410

Question

Cho hình chóp tam giác $S.ABCD$ đáyl à tam giác vuông $ABC$ tại $B$ và $AB=3a, Bc=4a$. Biết rằng mặt phẳng $(SBC)$ vuông góc với $(ABC)$.
Giả sử $SB=2a\sqrt{3} ; \widehat{SBC}=30^0$. Tìm khoảng cách từ $B$ đến $(SAC)$.

score 0 · Answer 1

Dễ dàng tính được $V_{B.SAC}=V_{S.ABC}=2a^3\sqrt{3} (1)$
mặt khác gọi $h$ là khoảng cách từ $B$ tới mặt phẳng $(SAC )$, ta có:
$V_{B.SAC}=\frac{1}{3}h.S_{SAC}$
Theo $(1)\Rightarrow h=\frac{3V_{B.SAC}}{S_{SAC}}=\frac{6a^3\sqrt{3}}{S_{SAC}} (2)$
Kẻ $SH \bot BC\Rightarrow SH \bot (ABC)$
vì có $SH=SB. \sin 30^0=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow BH=\sqrt{SB^2-SH^2}=\sqrt{12a^2-3a^2}=3a\Rightarrow HC=a$
Kẻ $BE\ bot AC, HK \bot AC\Rightarrow HK // BE$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$, ta cí:
$\frac{1}{BE^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{16a^2}\Rightarrow BE=\frac{12a}{5}$
Theo định lí Talet ta có: $\frac{HK}{BE}=\frac{CH}{CB}=\frac{a}{4a}=\frac{1}{4}\Rightarrow HK= \frac{3a}{5}$
Theo định lí Pytago thì $SK=\sqrt{SH^2+HK^2}=\sqrt{3a^2+\frac{9a^2}{25}}=\frac{2a\sqrt{21}}{5}$
Vậy $S_{SAC}=\frac{1}{2}AC.SK=\frac{1}{2}.5a.\frac{2a\sqrt{21}}{5}=a^2\sqrt{21} (3)$
Thay $(3)$ vào $(2)$ ta có: $h=\frac{6a\sqrt{7}}{7}$.

Bài 108410

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108410

1 Đáp án

Liên quan

Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng

Lý thuyết liên quan