Bài 108188

Question

Cho cung $\alpha$ với $0<\alpha<\frac{\pi}{2} $
a) Chứng minh: $\sin \alpha+\cos \alpha >1 $
b) Chứng minh: $\sin \alpha < \tan \alpha $

score 0 · Answer 1

     Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2}    \Rightarrow    \sin \alpha>0, \cos \alpha>0 $
a) Ta có: $(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha    $
$\Rightarrow   (\sin \alpha+\cos \alpha)^2=1+2 \sin \alpha \cos \alpha $
   Vì $\sin \alpha>0, \cos \alpha>0     \Rightarrow   2 \sin \alpha \cos \alpha >0$
   suy ra: $1+2 \sin \alpha \cos \alpha >0   \Rightarrow    (\sin \alpha+\cos \alpha)^2>1   \Rightarrow   \sin \alpha+\cos \alpha >1 $

b) Vì $0< \alpha < \frac{\pi}{2} $ nên $\sin \alpha >0, \cos \alpha >0 $
Giả sử ngược lại ta có:   $\tan \alpha < \sin \alpha   \Rightarrow    \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}< \sin \alpha     $
Vì $\sin \alpha > 0 \Rightarrow   \frac{1}{ \cos \alpha } <1   $; vì $\cos \alpha >0 \Rightarrow    \cos \alpha >1$
Điều này vô lý vì ta biết $|\cos \alpha | \leq 1$. Vậy ta phải có $\tan \alpha > \sin \alpha $ (đpcm).

Bài 108188

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108188

1 Đáp án

Liên quan

GÓC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Lý thuyết liên quan