Bài 107943

Question

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho parabol $(P): y^2=2px (p>0)$ và một điểm cố định trên $(P)$. Một góc vuông quay quanh đỉnh $A$ của nó, các cạnh cắt $(P)$ ở $M,N$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Giả sử $A(\frac{a^2}{2p};a ),M(\frac{m^2}{2p};m ),N(\frac{n^2}{2p};n )$
Phương trình đường thẳng $MN :$
$\frac{x-x_M}{x_N-x_M}=\frac{y-y_M}{y_N-y_M} $
Suy ra : $MN :2px-(m+n)y+m.n=0      (1)$
Ta có : $\overrightarrow {AM}=(\frac{m^2-a^2}{2p};m-a ) $
$\overrightarrow {AN}=(\frac{n^2-a^2}{2p} ;n-a) $
$\overrightarrow {AM}\bot \overrightarrow {AN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}.\overrightarrow {AN}=0 $
$\Leftrightarrow (m^2-a^2)(n^2-a^2)+4p^2(m-a)(n-a)=0$
$\Leftrightarrow (m+a)(n+a)+4p^2=0$
$\Leftrightarrow mn+a(m+n)+a^2+4p^2=0           (2)$
Rút $m.n$ từ $(2)$ thay vào $(1)$ và rút gọn ta được :
$MN: 2px-a^2-4p^2-(m+n)(y+a)=0        (3)$
Từ phương trình $MN$ ở dạng   $(3)$ ta thấy đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố đinh $K(\frac{a^2}{2p}+2p;-a )$

Bài 107943

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107943

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan