Bài 107943

Question

Trong mặt phẳng

$Oxy$ cho parabol

$(P): y^2=2px (p>0)$ và một điểm cố định trên

$(P)$ . Một góc vuông quay quanh đỉnh

$A$ của nó, các cạnh cắt

$(P)$ ở

$M,N$ . Chứng minh rằng đường thẳng

$MN$ luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Giả sử

$A(\frac{a^2}{2p};a ),M(\frac{m^2}{2p};m ),N(\frac{n^2}{2p};n )$
Phương trình đường thẳng

$MN :$

$\frac{x-x_M}{x_N-x_M}=\frac{y-y_M}{y_N-y_M}$
Suy ra :

$MN :2px-(m+n)y+m.n=0 (1)$
Ta có :

$\overrightarrow {AM}=(\frac{m^2-a^2}{2p};m-a )$

$\overrightarrow {AN}=(\frac{n^2-a^2}{2p} ;n-a)$

$\overrightarrow {AM}\bot \overrightarrow {AN} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}.\overrightarrow {AN}=0$

$\Leftrightarrow (m^2-a^2)(n^2-a^2)+4p^2(m-a)(n-a)=0$

$\Leftrightarrow (m+a)(n+a)+4p^2=0$

$\Leftrightarrow mn+a(m+n)+a^2+4p^2=0 (2)$
Rút

$m.n$ từ

$(2)$ thay vào

$(1)$ và rút gọn ta được :

$MN: 2px-a^2-4p^2-(m+n)(y+a)=0 (3)$
Từ phương trình

$MN$ ở dạng

$(3)$ ta thấy đường thẳng

$MN$ luôn đi qua điểm cố đinh

$K(\frac{a^2}{2p}+2p;-a )$

1 Đáp án