Bài 107934

Question

Cho hình lập phương

$ABCD. A'B'C'D'$ biết bán kính hình cầu nội tiếp trong tứ diện

$ACB'D'$ bằng

$r$
a) Tính diện tích toàn phần cửa tứ diện

$ACB'D'$ theo

$r$
b) Tính thể tích khối lập phương

$ABCD. A'B'C'D'$ theo

$a$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/13/2012 9:33:31 AM

a) Gọi

$a$ là cạnh hình lập phương và

$I$ là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện

$\Rightarrow I$ là giao điểm của hai đường chéo

$A'C$ và

$B'D$
Chọn hệ trục tọa độ như sau:
- Gốc

$O \equiv A$
- Trục

$Ox$ đi qua

$AB$
- Trục

$Oy$ đi qua

$AD$
- Trục

$Oz$ đi qua

$AA'$

Khi đó:

$A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), D'(0;a;a)$
Mặt phẳng

$(ACD')$ có cặp vecto chỉ phương là:

$\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ hay

$(1;1;0); \overrightarrow{AD}=(0;a;a)$ hay

$(0;1;1)$

$\Rightarrow$ vecto pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD'} ]=(1;-1;1)$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát

$(ACD'):x-y+z=0$

$I$ là trung điểm

$A'C\Rightarrow I(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} )$
Bán kính

$r$ là khoảng cách từ

$I$ đến

$(ACD')$

$\Rightarrow r=d(I,(ACD'))=\frac{|\frac{a}{2}-\frac{a}{2}+\frac{a}{2} |}{\sqrt{3} } =\frac{a}{2\sqrt{3} } \Leftrightarrow a=2\sqrt{3}r$
Các mặt của tứ diện là bốn tam giác đều bằng nhau có cạnh bằng

$a\sqrt{2}$

$\Rightarrow S_{tp}=4S_{ACB'}=\frac{4(a\sqrt{2} )^2.\sqrt{3} }{4} =(2\sqrt{6}r )^2.\sqrt{3}$ (đvdt)

b) Thể tích hình lập phương

$V=a^3=(2\sqrt{3}r )^3=24r^3\sqrt{3}$ (đvdt)

Bài 107934

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107934

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan