Bài 107903

Question

Cho hình hộp chữ nhật

$ABCD.A'B'C'D'$ có

$AB=AD=a, AA'=b(a>0,b>0)$ . Gọi

$M$ là trung điểm cạnh

$CC'$
a) Tính thể tích khối tứ diện

$BDA'M$ theo

$a$ và

$b$
b) Xác định tỉ số

$\frac{a}{b}$ để hai mặt phẳng

$(A'BD)$ và

$(MBD)$ và vuông góc với nhau

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 4:41:43 PM

a) Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ như sau:
- Gốc

$O\equiv A$
- Trục

$Ox$ đi qua

$AB$
- Trục

$Oy$ đi qua

$AD$
- Trục

$Oz$ đi qua

$AA'$

Khi đó:

$A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;b), c'(a;a;b)$

$\Rightarrow M(a;a;\frac{b}{2} )\Rightarrow \overrightarrow{A'M}=(a;a;-\frac{b}{2} )$

$\overrightarrow{A'B}=(a;0;-b); \overrightarrow{A'D}=(0;a;-b)$

$\Rightarrow [\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'D} ]=(ab;ab;a^2)$

$\Rightarrow V_{BDA'M}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'D} ].\overrightarrow{A'M} |$

$\frac{1}{6}|a^2b+a^2b-\frac{a^2b}{2} |=\frac{a^2b}{4}$ (đvdt)

b) Vecto pháp tuyến của

$(A'BD):\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{A'B}, \overrightarrow{A'D} ]=(ab;ab;a^2)$ hay

$(b;b;a)$
Ta có:

$\overrightarrow{MB}=(0;-a;-\frac{b}{2} ), \overrightarrow{MD}=(-a;0;-\frac{b}{2} )$
Vecto pháp tuyến của

$(MBD)$ cho bởi:

$\overrightarrow{n}_2=[\overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MD} ]=(\frac{ab}{2};\frac{ab}{2};-a^2 )$ hay

$(b;b;-2)$
Để

$(A'BD)\bot (MBD)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_1 .\overrightarrow{n}_2 =0\Leftrightarrow b^2+b^2-2a^2=0$

$a^2=b^2\Leftrightarrow a=b(a,b>0)$
Vậy

$\frac{a}{b}=1$

1 Đáp án