Bài 107875

Question

Cho tứ diện

$OABC$ có

$OA=OB=OC=a$ và đôi một vuông góc.

$OH\bot (ABC)$ tại

$H$ . Gọi

$A_1, B_1, C_1$ lần lượt là hình chiếu của

$H$ lên các mặt

$(OBC), (OAC), (OAB)$
a) Tính thể tích tứ diện

$HA_1B_1C_1$
b) Gọi

$S$ là điểm đối xứng

$H$ qua

$O$ . chứng minh tứ diện

$SABC$ đều
c) Chứng minh

$OH$ không vuông góc với

$(A_1B_1C_1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 3:28:46 PM

Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ :

$O(0;0;0), A(a;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a)$

a) Do

$OA=OB=OC$ nên

$O.ABC$ là chóp tam giác đều đỉnh

$O$

$OH\bot (ABC)$ tại

$H\Rightarrow H$ là trọng tâm

$\Delta ABC\Rightarrow H(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3} )$

$HC_1\bot (AOB) \Rightarrow C_1(\frac{a}{3};\frac{a}{3};0)$
Tương tự

$A_1(0;\frac{a}{3};\frac{a}{3}), B_1(\frac{a}{3};0;\frac{a}{3})$

$\Rightarrow \overrightarrow{HA_1}=(-\frac{a}{3};0;0), \overrightarrow{HB_1}=(0;-\frac{a}{3};0), \overrightarrow{HC_1}=(0;0;-\frac{a}{3})$

$V_{HA_1B_1C_1}=\frac{1}{6}|[(-\frac{a}{3};0;0),(0;-\frac{a}{3};0)](0;0-\frac{a}{3})|$

$=\frac{1}{6}|(0;\frac{a}{3};\frac{a^2}{9} )(0;0;-\frac{a}{3})|=\frac{a^2}{162}$ (đvdt)

b) Ta có:

$AB=AC=BC=a\sqrt{2}$

$O$ là trung điểm

$SH\Rightarrow S(-\frac{a}{3};-\frac{a}{3};-\frac{a}{3})$

$SA=\sqrt{(\frac{4a}{3})^2+(\frac{a}{3})^2+(\frac{a}{3})^2} =a\sqrt{2}$
Tương tự:

$SB=SC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=SB=SC=AB=AC=BC=a\sqrt{2}$
Vậy

$SABC$ là tứ diện đều

c)

$\begin{array}{l} \overrightarrow {{A_1}{B_1}} = \left( {\frac{a}{3}; - \frac{a}{3};0} \right),\,\,\overrightarrow {{A_1}{C_1}} = \left( {\frac{a}{3};0; - \frac{a}{3}} \right)\\ \Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} ,\overrightarrow {{A_1}{C_1}} {\rm{] = }}\left( {\frac{{{a^2}}}{9};\frac{{{a^2}}}{9};0} \right),\,\,\,\,\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3}} \right) \end{array}$

$\Rightarrow {\rm{[}}\overrightarrow {{A_1}{B_1}} ,\overrightarrow {{A_1}{C_1}} {\rm{]}}$ không cùng phương với

$\overrightarrow{OH}$
Vậy

$OH$ không vuông góc với

$(A_1B_1C_1)$

Bài 107875

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107875

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan