Bài 107871

Question

Cho hình chóp

$S.ABC$ có ba cạnh

$SA, SB, SC$ vuông góc với nhau từng đôi một và

$SA=a, SB=b, SC=c$
a) Tính thể tích khối chóp

$S.ABC$ . Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh

$S$ trên mặt phẳng

$(ABC)$ là trực tâm tam giác

$ABC$
b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

$S.ABC$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 3:00:42 PM

a) Ta có:

$V=\frac{1}{3}S_{SAB}.SC=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}SA.SB.SC=\frac{1}{6}abc$
Vẽ

$SH\bot (ABC)\Rightarrow SH\bot AC$

$SB\bot (SAC)\Rightarrow SB\bot AC$

$\Rightarrow AC\bot (SBH)\Rightarrow AC\bot BH (1)$
Tương tự:

$SH\bot (ABC)\Rightarrow SH\bot AB; SC\bot (SAB)\Rightarrow SC\bot AB$

$\Rightarrow AB\bot (SCH)\Rightarrow AH\bot CH (2)$

$Từ (1), (2)\Rightarrow H$ là trực tâm

$\Delta ABC$

b) Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ như sau:
- Gốc

$O\equiv S$
- Trục

$Ox$ đi qua

$SA$
- Trục

$Oy$ đi qua

$SB$
- Trục

$Oz$ đi qua

$SC$

Khi đó:

$S(0;0;0), A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ mặt cầu ngoại tiếp

$S.ABC$ có dạng:

$(S):x^2+y^2+z^2-2a'x-2b'y-2c'z=0$
Ta có hệ:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A \in (S)\\ B \in (S)\\ C \in (S) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} - 2a'a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ {b^2} - 2b'b = 0\,\,\,(2)\\ {c^2} - 2c'c = 0\,\,\,(3) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a' = \frac{a}{2}\\ b' = \frac{b}{2}\\ c' = \frac{c}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} I\left( {\frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2}} \right)\\ R = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{c^2}}}{4}} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Bài 107871

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107871

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan