Bài 107846

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. gọi $M$ là trung điểm $AB, N$ là tâm của hình vuông $ADD'A'$
a) Tính bán kính $R$ mặt cầu $(S)$ qua $C,D',M,N$
b) Tính bán kính $r$ của đường tròn $(C)$ là giao điểm của $(S)$ và cầu $(S')$ qua $A', B, C', D$
c) Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $(CMN)$ và hình lập phương

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 2:09:05 PM

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C'(a;a;a), D'(0;a;a)$
$\Rightarrow M(\frac{a}{2};0;0 ), N(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2} )$

a) Phương trình $(S): x^2+y^2+z^2-2\alpha x-2 \beta y -2\gamma z+d=0$
Vì $C, D', M, N\in (S)$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a^2-2\alpha a-2 \beta a+d=0 (1)\\ 2a^2-2 \beta a-2 \gamma a+d=0 (2)\\\frac{a^2}{4}-\alpha a+d=0 (3)\\\frac{a^2}{2}- \beta a-\gamma a+d=0 (4) \end{array} \right. $
$(1)-(2)\Rightarrow : \alpha =\gamma a$
$(2)-(4)\Rightarrow :d=a^2$ Thay vào $(3)\Rightarrow \alpha =\gamma a=\frac{5a}{4} $
Thay vào $(4)\Rightarrow \beta =\frac{a}{4} $
$\Rightarrow $ Phương trình $(S):x^2+y^2+z^2-\frac{5a}{2}x-\frac{a}{2}y-\frac{5a}{2}z+a^2=0 $
$\Rightarrow R^2=(\frac{5a}{4} )^2+(\frac{5a}{4} )^2+(\frac{a}{4} )^2-a^2=\frac{35a^2}{16} $
Vậy $R=\frac{a}{4}\sqrt{35} $

b) Phương trình $(S'):x^2+y^2+Z^2-2\alpha' x -2 \beta'y -2\gamma'z +d'=0 $
Vì $A', B, C', D\in (S')$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2-2\gamma'a+d'=0\\ a^2-2\alpha'a+d'=0 \\3a^2-2\alpha'a-2 \beta'a-2\gamma'a+d'=0 \\a^2-2 \beta'a +d'=0 \end{array} \right. $
$\Rightarrow \alpha'=\beta'=\gamma'=\frac{a}{2}, d'=0 $
$\Rightarrow (S'):x^2+y^2+z^2-ax-ay-az=0$ và $R'=\frac{a\sqrt{3} }{2} $
Dễ thấy $C(a;a;0)\in (S')\Rightarrow C\in (C)$
Gọi $I, I;, J$ là tâm của $(S), (S')$ và $(C)\Rightarrow I(\frac{5a}{4};\frac{a}{4};\frac{5a}{4} ), I'(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{2} )$
Ta có: $JC\bot II'\Rightarrow r=d(C,II')=\frac{|[\overrightarrow{II'},\overrightarrow{CI} ]|}{II'} $
$\overrightarrow{II'}=(-\frac{3a}{4};\frac{a}{4};-\frac{3a}{4} ) , \overrightarrow{CI}=(\frac{a}{4};-\frac{3a}{4};\frac{5a}{4} ) $
$\Rightarrow [\overrightarrow{II'},\overrightarrow{CI} ]=\frac{a^2}{4}(-1;3;2) \Rightarrow r=a\sqrt{\frac{14}{19} } $

c) $\overrightarrow{n}_{(CMN)}=[\overrightarrow{CM},\overrightarrow{CN} ]=-\frac{a^2}{4}(2;-1;3) $
$\Rightarrow $ Phương trình $(CMN):2x-y+3z-a=0$
Phương trình tham số $AA':\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=0\\z=t \end{array} \right. (t \in R)$
Phương trình tham số $DD':\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=a\\z=t \end{array} \right. (t \in R)$
Gọi $K=(CMN)\cap AA', L=(CMN)\cap DD'$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow K\left( {0;0;\frac{a}{3}} \right);L\left( {0;a;\frac{{2a}}{3}} \right) \Rightarrow S = {S_{CMKL}} = \frac{1}{2}\left( {|{\rm{[}}\overrightarrow {CM} {\rm{,}}\overrightarrow {CK} {\rm{]}}| + |{\rm{[}}\overrightarrow {CK} {\rm{,}}\overrightarrow {CL} {\rm{]}}|} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {\left| {\left[ {\left( { - \frac{a}{2}; - a;0} \right),\left( { - a; - a;\frac{a}{3}} \right)} \right]} \right| + \left| {\left[ {\left( { - a; - a;\frac{a}{3}} \right),\left( { - a;0;\frac{{2a}}{3}} \right)} \right]} \right|} \right)\\
\Rightarrow S = \frac{{{a^2}\sqrt {14} }}{4}
\end{array}$
Vậy diện tích thiết diện là $\frac{a^2\sqrt{14} }{4} $

Bài 107846

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107846

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan