Bài 107844

Question

Cho hypebol

$(H) : \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =1$ . Gọi

$F_1,F_2$ là các tiêu điểm và

$A_1,A_2$ là các đỉnh của

$(H). M$ là điểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên

$Ox$ là

$N$ . Chứng minh rằng :

$a.OM^2-MF_1.MF_2=a^2-b^2$

$b.(MF_1+MF_2)^2=4(OM^2+b^2)$

$c.NM^2=\frac{b^2}{a^2} \overrightarrow {NA_1}.\overrightarrow {NA_2}$

score 0 · Answer 1

$M(x;y)\in (H)\Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} =1$

$MF_1=|a+\frac{c}{a}x |,MF_2=|a-\frac{c}{a}x |$

$a. OM^2-MF_1.MF_2=x^2+y^2-|a^2-\frac{c^2}{a^2}x^2 |$

$=x^2+y^2-|a^2-c^2(1^2+\frac{y^2}{b^2} )|=x^2+y^2-|-b^2-\frac{c^2}{a^2} y^2|$

$=x^2+y^2-b^2-\frac{c^2}{b^2} y^2=a^2+\frac{a^2}{b^2}y^2 +y^2-b^2-\frac{a^2+b^2}{b^2} y^2=a^2-b^2$

$b. (MF_1+MF_2)^2=(MF_1-MF_2)^2+4MF_1.MF_2=4a^2+4|a^2-\frac{c^2}{a^2} x^2|$

$=4a^2+4b^2+\frac{4c^2}{b^2} y^2 (1)$

$4(OM^2+b^2)=4(x^2+y^2+b^2)=4x^2+4y^2+4b^2$

$=4(a^2+\frac{a^2}{b^2} y^2)+4y^2+4b^2$

$=4a^2+b^2+4y^2(\frac{a^2}{b^2}+1 )=4a^2+4b^2+\frac{4c^2}{b^2} y^2 (2)$
Từ

$(1; (2)$ suy ra điều phải chứng minh

$c.$

$NM^2=y^2$

$\frac{b^2}{a^2}\overrightarrow {NA_1}.\overrightarrow {NA_2}=\frac{b^2}{a^2} (-x-a)(-x+a)$

$=-\frac{b^2}{a^2} (a^2-x^2)=-b^2+\frac{b^2}{a^2} x^2$

$-b^2+b^2(1+\frac{y^2}{b^2} )=y^2$
Vậy

$NM^2=\frac{b^2}{a^2}.\overrightarrow {NA_1} .\overrightarrow {NA_2}$

1 Đáp án