Bài 107841

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh bằng $2$. Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD,DD'$
a) Mặt phẳng $(IJK)$ cắt hình lập phương theo thiết diện là hình gì. Tính diện tích thiết diện
b) Xác định góc $\varphi$ giữa thiết diện và $AB$
c) Tính góc $[A',IJ,C]$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 11:06:56 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), C(2;2;0), A'(0;0;2), B'(2;0;2), D'(0;2;2), C'(2;2;2)$
$\Rightarrow I(1;0;0), J(0;1;0), K(0;2;1)$
$\Rightarrow [\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IK} ]=[(-1;1;0),(-1;2;1)]=(1;1;-1)$

a) Ta có:
Phương trình $(IJK):x+y-z-1=0$
Gọi $M,N,P$ là giao điểm $(IJK)$ với $C'D', B'C', BB'$
$\Rightarrow M(x_0;2;2), N(2;y_0;2), P(2;0;z_0)$
$M,N,P\in (IJK)$
$\Rightarrow x_0=1,y_0=1,z_0=1\Rightarrow M(1;2;2), N(2;1;2), P(2;0;1)$
$\Rightarrow IJ=JK=KM=MN=NP=PI=\sqrt{2} (1)$
Gọi $E$ là trung điểm $PK\Rightarrow E(1;1;1)$
Ta có: $EP=EK=EI=EJ=EM=EN=\sqrt{2} \Rightarrow IJKMNP$ nội tiếp $E;\sqrt{2} (2)$
Từ $(1), (2)\Rightarrow IJKMNP$ là thiết diện lục giác đều cạnh $\sqrt{2} $
$\Rightarrow S=6.S_{\Delta EIJ}=\frac{6\sqrt{2}.\sqrt{3} }{2}=3\sqrt{6} $

b) $\sin \varphi=|\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}_{(IJK)} )|=\frac{|(1;1;-1)(1;0;0)|}{\sqrt{3} }=\frac{\sqrt{3} }{3} $

c) Gọi $F$ là trung điểm $IJ\Rightarrow F(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0 )$
$\Delta A'IJ$ và $\Delta CIJ$ cân tại $A', C\Rightarrow A'F\bot IJ, CF\bot IJ$
$\Rightarrow \alpha = (\overrightarrow {FA'} ,\overrightarrow {FC} ) \Rightarrow \cos\alpha = \frac{{\overrightarrow {FA'} .\overrightarrow {FC} }}{{FA'.FC}} = \frac{{\left( { - \frac{1}{2}; - \frac{1}{2};2} \right)\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};0} \right)}}{{\sqrt {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 4} \sqrt {\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} }} = - \frac{1}{3}$
$\cos \alpha =-\frac{1}{3} $

Bài 107841

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107841

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan