Bài 107718

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông cạnh

$a$ và

$SA=h$
a) Tìm hệ thức giữa

$a$ và

$h$ để góc giữa hai đường thẳng

$AB$ và

$SC$ bằng

$60^0$ . Cho

$h=a\sqrt{2}$ , Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AB$ và

$SC$
b) Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện cạnh

$SC$ tù

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 2:27:22 PM

Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ sao cho:
- Gốc

$O\equiv A$
- Trục

$Ox$ đi qua

$AB$
- Trục

$Oy$ đi qua

$AD$
- Trục

$Oz$ đi qua

$AS$

Khi đó:

$A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;h)$
Ta có

$\overrightarrow{AB}=(a;0;0), \overrightarrow{SC}=(a;a;-h)$
Mà

$cos(\widehat{AB, SC})=cos60^0=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2a^2+h^2} }=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2a=\sqrt{2a^2+h^2}\Leftrightarrow 4a^2=2a^2+h^2\Leftrightarrow h=a\sqrt{2}$
- Tính khoảng cách giữa

$AB$ và

$SC$
Ta có:

$AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)$ chứa

$SC$

$h=a\sqrt{2}\Rightarrow S(0;0;a\sqrt{2} )$

$\Rightarrow$ Khoảng cách giữa

$AB$ và

$SC$ là khoảng cách từ

$A\in AB$ đến

$(SCD)$
Mặt phẳng

$(SCD)$ có cặp vecto chỉ phương là:

$\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2} )$ hay

$(1;1;-\sqrt{2} )$

$\overrightarrow{SD}=(0;a;-a\sqrt{2} )$ hay

$(1;1;-\sqrt{2} )$

$\Rightarrow$ Vecto pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ]=(0;\sqrt{2};1 )$

$\Rightarrow (SCD):\sqrt{2}(y-0)+1(z-a\sqrt{2} )=0 \Leftrightarrow \sqrt{2}y+z-a\sqrt{2}=0$

$\Rightarrow d(AB, SC)=d(A,(SCD))=\frac{|-a\sqrt{2} |}{\sqrt{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3}$

b) Nhị diện cạnh

$SC$ tạo bởi hai mặt phẳng

$(SCB)$ và

$(SCD)$
Ta có:

$\overrightarrow{SC}=(1;1;-\sqrt{2} ), \overrightarrow{SD}=(a;0;-a\sqrt{2} )$ hay

$(1;0;-\sqrt{2} )$

$\Rightarrow$ Vecto pháp tuyến

$\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SB} ]=(-\sqrt{2};0;-1 )$ của mặt phẳng

$(SCB)$
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

$(SCD): \overrightarrow{n}_2 =[\overrightarrow{sc},\overrightarrow{SD} ]=(0;\sqrt{2};1 )$
Góc phẳng nhị diện cạnh

$SC$ cho bởi:

$cos\alpha =\frac{\overrightarrow{n}_1 .\overrightarrow{n}_2 }{|\overrightarrow{n}_1| .|\overrightarrow{n}_2|} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3}.\sqrt{3} } =\frac{-\sqrt{2} }{3} <0\Rightarrow \alpha$ tù

Bài 107718

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107718

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan