Bài 107718

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA=h$
a) Tìm hệ thức giữa $a$ và $h$ để góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng $60^0$. Cho $h=a\sqrt{2} $, Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$
b) Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện cạnh $SC$ tù

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 2:27:22 PM

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho:
- Gốc $O\equiv A$
- Trục $Ox$ đi qua $AB$
- Trục $Oy$ đi qua $AD$
- Trục $Oz$ đi qua $AS$

Khi đó: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;h)$
Ta có $\overrightarrow{AB}=(a;0;0), \overrightarrow{SC}=(a;a;-h) $
Mà $cos(\widehat{AB, SC})=cos60^0=\frac{1}{2} $
$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{2a^2+h^2} }=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2a=\sqrt{2a^2+h^2}\Leftrightarrow 4a^2=2a^2+h^2\Leftrightarrow h=a\sqrt{2} $
- Tính khoảng cách giữa $AB$ và $SC$
Ta có: $AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)$ chứa $SC$
$h=a\sqrt{2}\Rightarrow S(0;0;a\sqrt{2} ) $
$\Rightarrow $ Khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ là khoảng cách từ $A\in AB$ đến $(SCD)$
Mặt phẳng $(SCD)$ có cặp vecto chỉ phương là:
$\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2} ) $ hay $(1;1;-\sqrt{2} )$
$\overrightarrow{SD}=(0;a;-a\sqrt{2} ) $ hay $(1;1;-\sqrt{2} )$
$\Rightarrow $ Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ]=(0;\sqrt{2};1 ) $
$\Rightarrow (SCD):\sqrt{2}(y-0)+1(z-a\sqrt{2} )=0 \Leftrightarrow \sqrt{2}y+z-a\sqrt{2}=0 $
$\Rightarrow d(AB, SC)=d(A,(SCD))=\frac{|-a\sqrt{2} |}{\sqrt{3} }=\frac{a\sqrt{6} }{3} $

b) Nhị diện cạnh $SC$ tạo bởi hai mặt phẳng $(SCB)$ và $(SCD)$
Ta có: $\overrightarrow{SC}=(1;1;-\sqrt{2} ), \overrightarrow{SD}=(a;0;-a\sqrt{2} ) $ hay $(1;0;-\sqrt{2} )$
$\Rightarrow $ Vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}_1=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SB} ]=(-\sqrt{2};0;-1 ) $ của mặt phẳng $(SCB)$
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD): \overrightarrow{n}_2 =[\overrightarrow{sc},\overrightarrow{SD} ]=(0;\sqrt{2};1 )$
Góc phẳng nhị diện cạnh $SC$ cho bởi:
$cos\alpha =\frac{\overrightarrow{n}_1 .\overrightarrow{n}_2 }{|\overrightarrow{n}_1| .|\overrightarrow{n}_2|} =\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{3}.\sqrt{3} } =\frac{-\sqrt{2} }{3} <0\Rightarrow \alpha $ tù

Bài 107718

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107718

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan