Bài 107630

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng $a$
a) Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'D$
b) Gọi $M,N,P$ lần lượt là các trung điểm của các cạnh $BB',CD,A'D'$. Tính góc giữa hai đường thẳng $MP$ và $C'N$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 9:20:14 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như sau:
- Gốc $O\equiv A$
- Trục $Ox$ đi qua $AB$
- Trục $Oy$ đi qua $AD$
- Trục $Oz$ đi qua $AA'$

Khi đó: $A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a)$
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa $B'D$ và song song $A'B\Rightarrow $ Cặp vecto chỉ phương của $(P)$ là:
$\overrightarrow{AB}=(a;0;-a) $ hay $(1;0;-1)$
$\overrightarrow{B'D}=(-a;a-a) $ hay $(-1;1;-1)$
$\Rightarrow $ vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{B'D} ]=(1;2;1) $
$\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $B':$
$x-a+2y+z-a=0\Leftrightarrow x+2y+z-2a=0$
Khoảng cách giữa $A'B$ và $B'D$ là khoảng cách từ $A'$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d(A'B,B'D)=d(A',(P))=\frac{|a-2a|}{\sqrt{6} }=\frac{a}{\sqrt{6} } $

b) Ta có: $M$ là trung điểm của $BB'\Rightarrow M(a;0;\frac{a}{2} )$
$P$ là trung điểm $A'D'\Rightarrow P(0;\frac{a}{2};a )$
$C(a;a;0), C'(a;a;a)$
$N$ là trung điểm của $CD\Rightarrow N(\frac{a}{2};a;0 )$
$\Rightarrow \overrightarrow{MP}=(-a;\frac{a}{2};\frac{a}{2} ), \overrightarrow{C'N}=(-\frac{a}{2};0;-a ) $
$\Rightarrow \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{C'N}=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0\Rightarrow \overrightarrow{MP}\bot \overrightarrow{C'N} $
Vậy $(MP,C'N)=90^0$

Bài 107630

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107630

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan