Bài 107585

Question

Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2} } =2$

b) $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5} }=3 $

Thu Hằng · Answer 1 · 6/10/2012 1:53:37 AM

a)
Cách 1.
Ta có: $7+5\sqrt{2}=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^3    $
Tương tự: $7-5\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^3 $
$\Rightarrow \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}=2 $

Cách 2.
Đặt $a= \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}},   b=\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$   và   $x=a+b$.
Ta được $ \left\{ \begin{array}{l} ab=-1\\ a^3+b^3=14 \end{array} \right.$
Ta có: $(a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)$.
Hay $x^3=14-3x \Leftrightarrow x^3+3x-14=0\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+7)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 2 = 0                                       \\
x^2 + 2x + 7 = 0      \text{ (vô nghiệm)}
\end{array} \right.   \Leftrightarrow x=2 $
Vậy $ \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$

b) Đặt $a=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}, b=\sqrt[3]{9-4\sqrt{5} } $ và $x=a+b.$
Ta được: $ \left\{ \begin{array}{l} ab=1\\ a^3+b^3=18 \end{array} \right.$
Ta có: $(a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)$.
Hay $x^3=18+3x\Leftrightarrow x^3-3x-18=0\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+6)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 3 = 0                                      \\
x^2 + 3x + 6 = 0          \text{ (vô nghiệm)}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x=3$
Vậy $\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5} } =3$

Bài 107585

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107585

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan