Bài 107450

Question

Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$. Trên đường thẳng $d$ vuông góc $(ABC)$ tại $A$ lấy điểm $M$. Gọi $I$ là hình chiếu của trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ trên $(BCM)$
a) Chứng minh $I$ là trực tâm $\Delta BCM$
b) $GI$ căt $d$ tại $N$. Chứng minh: Tứ diện $BCMN$ có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 4:39:58 PM

Trong tam giác $(ABC), $ vẽ $Ay\bot AB$. Chọn hẹ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(a;0;0), M(0;0;m), C(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{2};0 )$
$\Rightarrow G(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{6};0 )$

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BC\bot MA (MA\bot (ABC))\\ BC\bot GI (GI\bot (BCM))\end{array} \right. $
$\Rightarrow Bc\bot (GIA)\Rightarrow BC\bot AI$
Tương tự $MC\bot BI$
$\Rightarrow I$ là trực tâm $\Delta BCM$

b) Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{2};0 )=-\frac{a}{2}(1;-\sqrt{3};0 ) $
$\Rightarrow $ Phương trình mp $(AMI): x-\sqrt{3}y =0$
$\overrightarrow{MC}=(\frac{a}{2};\frac{\frac{a\sqrt{3} }{2} }{2};-m )=\frac{1}{2}(a;a\sqrt{3};-2m ) $
$\Rightarrow $ Phương trình $(BGI):ax+a\sqrt{3}y-2mz-a^2=0 $
$GI=(AMI)\cap (BGI)$
$\Rightarrow $ Phương trình $GI:\left\{ \begin{array}{l} x-\sqrt{3}y \\ ax+a\sqrt{3}y-2mz-a^2=0 \end{array} \right. $
$N\in d\Rightarrow N(0;0;0); N\in GI \Rightarrow n=\frac{-a^2}{2m} \Rightarrow N(0;0;\frac{-a^2}{2m} )$

Ta có: $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{MN}=(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{2};0 )(0;0;\frac{-a^2-2m^2}{m} )=0 $
$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CN}=(-a;0;m)(-\frac{a}{2};\frac{-a\sqrt{3} }{2};\frac{-a^2}{2m} ) =0 $
$\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{CM}=(-a;0;-\frac{a^2}{2m} )(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3} }{2};m )=0 $
Vậy $BC\bot MN, BM\bot CN,BN\bot CM$

Bài 107450

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107450

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan