Bài 107365

Question

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a, \widehat{BAD}=60^0$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AA'; N$ là trung điểm của cạnh $CC'$. Chứng minh rằng 4 điểm $B', M, D, N$ cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài $AA'$ theo $a$ để tứ giác $B'MDN$ là hình vuông.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 11:43:49 AM

Ta có $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{BAD}=60^0$   $\Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh $a$.
Đặt $AA'=h$, gọi $O$ là tâm của $ABCD$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxuz$ sao cho: $O(0;0;0), B(\frac{a}{2};0;0 ), C(0;\frac{a\sqrt{3} }{2};0 ), B'(\frac{a}{2};0;h )$
$\Rightarrow D(-\frac{a}{2};0;0 ), D'(-\frac{a}{2};0;h ), C'(0;\frac{a\sqrt{3} }{2};h ), A'(0;-\frac{a\sqrt{3} }{2};h ), \\       M(0;-\frac{a\sqrt{3} }{2};\frac{h}{2} ), N(0;\frac{a\sqrt{3} }{2};\frac{h}{2} )$

Chứng minh $B',M, D, N$ đồng phẳng:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{DM}=(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3} }{2};\frac{h}{2}   ) \\ \overrightarrow{DN}=(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3} }{2};\frac{h}{2}   ) \\\overrightarrow{DB}=(a;0;h) \end{array} \right. $
$[\overrightarrow{DB'},\overrightarrow{DN}].\overrightarrow{DM}=(-\frac{ah\sqrt{3} }{2};0;\frac{a^3\sqrt{3} }{2} )(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3} }{2};\frac{h}{2}   )   =0$
Vậy $B'M,N,D$ đồng phẳng

Tính $AA' $ theo $ a$
Ta có: $B'N=ND=DM=MB'=\sqrt{a^2+\frac{h^2}{4} } \Rightarrow B'MDN$ là hình thoi
Để $B'MDN$ là hình vuông thì $DM\bot DN\Rightarrow \overrightarrow{DM}.\overrightarrow{DN}=0 $
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{4}-\frac{3a^2}{4}+\frac{h^2}{4} =0\Leftrightarrow h=a\sqrt{2}   $
Vậy $AA'=a\sqrt{2} $

Bài 107365

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107365

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan